【推荐1】设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和．已知，且，，构成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，证明：．

【推荐2】在等差数列和等比数列中，，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求数列的前n项和．

【推荐3】设数列的前项和为，若对任意，都有.
（1）求数列的首项；
（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（3）数列满足，问是否存在，使得恒成立？如果存在，求出 的值，如果不存在，说明理由．

【推荐1】已知数列满足，且．
(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前n项和．

【推荐2】在数列中，，若函数在点处的切线过点．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式与前项和公式．

【推荐3】（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”.已知：数列中，，.
①求证：数列是“平方递推数列”；
②求证：数列是等比数列；
③求数列的通项公式；
（2）已知：数列中，，，求：数列的通项.

【推荐2】袋中有12个除颜色外均相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是，试求从中任取一球，取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少.

【推荐3】第56届世界乒乓球团体锦标赛于2022年在中国成都举办，国球运动又一次掀起热潮．现有甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用7局4胜制，每局11分制，每赢一球得1分，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛．在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10：10后，每人发一个球就要交换发球权．
(1)已知在本场比赛中，前三局甲赢两局，乙赢一局，在后续比赛中，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立，求甲乙两人只需要再进行两局比赛就能结束本场比赛的概率；
(2)已知某局比赛中双方比分为8：8，且接下来两球由甲发球，若甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立，求该局比赛甲得11分获胜的概率．

【推荐1】某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：

	积极参加班级工作	不太主动参加班级工作	合计
学习积极性高	18	7	25
学习积极性一般	6	19	25
合计	24	26	50

(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
(2)判断是否有的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？
附： ,

【推荐2】为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委在全校采用随机抽样的方法抽取了80名学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月“关注度”分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；
（2）求抽取的80名学生中月“关注度”不少于15天的人数；
（3）在抽取的80名学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率．

【推荐3】某市志愿者的身影活跃在各个角落，他们或积极抗疫，或抗灾救险……为社会发展做出了突出贡献．现随机抽取了男女志愿者共200名，他们年龄（单位：岁）都在区间上，并绘制了女志愿者年龄分布直方图．如图，在这200名志愿者中，年龄在上的女志愿者是15名，年龄在上的女志愿者人数是男志愿人数的．

（1）用分层抽样的方法从年龄在区间，上的女志愿者中抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人一个年龄在区间上，另一个在区间上的概率；
（2）完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为志愿者的年龄分布与性别有关．

	年龄小于40岁	年龄不小于40岁	合计
男
女
合计

——附：参考公式和检验临界值表：，．

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879