【推荐1】如图，直三棱柱中，，，，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的余弦值.

【推荐2】如图，已知四棱锥，底面为边长为2的菱形，平面，，是的中点，．

（Ⅰ） 证明：；
（Ⅱ） 若为上的动点，求与平面所成最大角的正切值．

【推荐3】国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”. 鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA⊥平面ACB.

(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；
(2)如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角的大小；
(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体为鳖臑.

【推荐1】如图，已知三棱锥的平面展开图中，四边形为边长等于2的正方形，和均为等边三角形．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

【推荐2】如图所示，四边形ABCD为菱形，，二面角为直二面角，点E是棱AB的中点.

(1)求证：；
(2)若，，当二面角的余弦值为时，求直线PE与平面PAC所成的角正弦值.

【推荐3】如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面．

(1)证明：；
(2)若，，，试画出二面角的平面角，并求它的余弦值．