【推荐1】已知为双曲线的左､右焦点，的一条渐近线方程为为上一点，且．
(1)求的方程；
(2)设点在坐标轴上，直线与交于异于的两点，为的中点，且，过作，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标以及的长度；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知双曲线的一条渐近线方程，原点到过、点的直线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)过点能否作直线，使与已知双曲线交于两点、，且是线段的中点？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知双曲线E：的左右焦点分别为，.点为的中点，O为坐标原点，A，B为双曲线E的左右顶点，P为E上异于A，B的任一点，且满足：直线PA与直线PB的斜率之积为.
(1)求双曲线E的方程；
(2)过点作斜率为的直线l交双曲线E于M，N两点，直线MD，ND分别交双曲线E于P，Q两点，设直线PQ的斜率为k₂，问是否存在实数使得：？若存在求出值；若不存在，说明理由.

【推荐1】已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

【推荐2】双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.

【推荐3】已知双曲线，满足______（从下列条件中选择其中两个补充在横线上并作答）．
①离心率为2；②渐近线为；③过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线l过点，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．