对于给定的正整数n，记集合
，其中元素
称为一个n维向量.特别地，
称为零向量.设
，
，
，定义加法和数乘：
，
.对一组向量
，
，…，
，若存在一组不全为零的实数
，
，…，
，使得
，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.
(1)对
，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①
，
；
②，，
.
(2)已知，
，
线性无关，判断
，
，
是线性相关还是线性无关，并说明理由.
(3)已知
个向量，，…，
线性相关，但其中任意
个都线性无关，证明：
①如果存在等式
（
，
，2，3，…，m），则这些系数，，…，
或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，
（，
，，2，3，…，m）同时成立，其中
，则
.
，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.(1)对
，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.①
，；②
，，.(2)已知
，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.(3)已知
个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：①如果存在等式
（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；②如果两个等式
，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则.
更新时间：2024-02-24 11:20:37
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【知识点】 向量新定义
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名校
【推荐1】对于三维向量
，定义“
变换”：
，其中，
．记
，
．
(1)若
，求
及
；(2)证明：对于任意
，经过若干次变换后，必存在
，使
；(3)已知
，将
再经过
次变换后，
最小，求的最小值．
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】记集合
，对于
，定义：
为由点
确定的广义向量，
为广义向量的绝对长度，
(1)已知
，计算
；
(2)设
，证明：
；
(3)对于给定
，若
满足
且
，则称
为
中关于的绝对共线整点，已知
，
①求
中关于的绝对共线整点的个数；
②若从中关于的绝对共线整点中任取个，其中必存在4个点
，满足
，求的最小值.
，对于，定义：为由点确定的广义向量，为广义向量的绝对长度，(1)已知
，计算；(2)设
，证明：；(3)对于给定
，若满足且，则称为中关于的绝对共线整点，已知，①求
中关于的绝对共线整点的个数；②若从
中关于的绝对共线整点中任取个，其中必存在4个点，满足，求的最小值.
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，
，
，…，
，令
，如果存在
，使得
，那么称
是该向量组的“
向量”.
，若
是向量组
的取值范围；
，向量组
，
.设在平面直角坐标系中有一点列
，
，
…
满足：
与
关于点
与
关于点
的最小值.
