已知双曲线:(,)的右顶点,斜率为1的直线交于、两点,且中点.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交,交点为,,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)证明:为直角三角形;
(3)若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交,交点为,,且分别在第一象限和第四象限,若,,求面积的取值范围.
更新时间:2024-03-01 07:39:46
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
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解题方法
【推荐1】已知双曲线为双曲线的右焦点,过作直线交双曲线于两点,过点且与直线垂直的直线交直线于点,直线交双曲线于两点.
(1)若直线的斜率为,求的值;
(2)设直线的斜率分别为,且,记,试探究与满足的方程关系,并将用表示出来.
(1)若直线的斜率为,求的值;
(2)设直线的斜率分别为,且,记,试探究与满足的方程关系,并将用表示出来.
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【推荐2】我们约定,如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴,则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆,双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线,分别为的离心率,且,点分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求双曲线的方程;
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点,若直线的斜率分别为.
(i)试探究与的比值是否为定值.若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由;
(ii)求的取值范围.
(1)求双曲线的方程;
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点,若直线的斜率分别为.
(i)试探究与的比值是否为定值.若是定值,求出这个定值;若不是定值,请说明理由;
(ii)求的取值范围.
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【推荐1】已知动点分别与定点和连线的斜率乘积.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)是的右焦点,若过点,与曲线交于,两点,是否存在轴上的点,使得直线绕点无论怎么转动,都有成立?若存在,求出的坐标:若不存在,请说明理由.
(3)是的右焦点,设点位于第一象限,的平分线交于点,求证:.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)是的右焦点,若过点,与曲线交于,两点,是否存在轴上的点,使得直线绕点无论怎么转动,都有成立?若存在,求出的坐标:若不存在,请说明理由.
(3)是的右焦点,设点位于第一象限,的平分线交于点,求证:.
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【推荐2】我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线,都有令人惊奇的光学性质,且这些光学性质都与它们的焦点有关.如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上,经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点(如图所示,其中是反射镜面也是过点处的切线).已知双曲线(,)的左右焦点分别为,,从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处(点P在第一象限),经双曲线反射后过点.
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
(1)请根据双曲线的光学性质,解决下列问题:
当,,且直线的倾斜角为时,求反射光线所在的直线方程;
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处,且三点共线,经双曲线反射后过点,,,延长,分别交两条渐近线于,点是的中点,求证:为定值.
(3)在(2)的条件下,延长交y轴于点,当四边形的面积为8时,求的方程.
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