党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升．下表为某市2014~2022年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图（如图1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系.
参考数据：
.
参考公式：对于一组数据
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
(1)设年份编号为
（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为
（单位：万元），求经验回归方程
（结果精确到0.01）；
(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014~2022中任取2年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为
，求随机变量的分布列与数学期望.
| 年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
| 全体居民人均可支配收入（元） | 18352 | 20110 | 22034 | 24153 | 26386 | 28920 | 30824 | 33803 | 35666 |
参考数据：
.参考公式：对于一组数据
，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为.(1)设年份编号为
（2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为（单位：万元），求经验回归方程（结果精确到0.01）；(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014~2022中任取2年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为
，求随机变量的分布列与数学期望.
更新时间：2024-04-01 15:19:39
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【推荐1】吸烟有害健康，现统计4名吸烟者的吸烟量x与损伤度y，数据如下表：
(1)从这4名吸烟者中任取2名，其中有1名吸烟者的损伤度为8，求另1吸烟者的吸烟量为6的概率；
(2)在实际应用中，通常用各散点
到直线
的距离的平方和
来刻画“整体接近程度”.S越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程
.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．
附：
，
.
吸烟量x | 1 | 4 | 5 | 6 |
损伤度y | 3 | 8 | 6 | 7 |
(2)在实际应用中，通常用各散点
到直线的距离的平方和来刻画“整体接近程度”.S越小，表示拟合效果越好.试根据统计数据，求出经验回归直线方程.并根据所求经验回归直线估计损伤度为10时的吸烟量．附：
，.
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(0.65)
解题方法
【推荐2】经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数
与销售价格(单位：万元/辆)进行整理，得到如下的对应数据：
（1）试求关于的回归直线方程；
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为
万元，根据（1）中所求的回归方程，预测为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润
最大.
附：回归方程
中，
与销售价格(单位：万元/辆)进行整理，得到如下的对应数据：| 使用年数 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 售价 | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
关于的回归直线方程；（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为
万元，根据（1）中所求的回归方程，预测为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.附：回归方程
中，
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名校
【推荐3】某地区区域发展指数评价指标体系基于五大发展理念构建，包括创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个一级指标．该地区区域发展指数测算方法以2015年作为基期并设指数值为100，通过时序变化，观察创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分领域指数值的变动趋势．分别计算创新发展、协调发展、绿色发展、开放发展和共享发展5个分指数，然后合成为该地区区域发展总指数，如下图所示．
若年份x（2015年记为
，2016年记为
，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．
(1)求年份x与发展总指数y的回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程
，其中
，
，
，
．
若年份x（2015年记为
，2016年记为，以此类推）与发展总指数y存在线性关系．(1)求年份x与发展总指数y的回归方程；
(2)若规定发展总指数大于115的年份为和谐发展年，和谐发展年中发展总指数低于130的视为良好，记1分，发展总指数大于130的视为优秀，记2分，从和谐发展年中任取三年，用X表示赋分之和，求X的分布列和数学期望．
参考公式：回归方程
，其中，，，．
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解题方法
【推荐1】某中学高一（1）班在接种了“新冠疫苗”之后，举行了“疫情防控，接种疫苗”知识竞赛.这次竞赛前
名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前
名女生的平均得分为
分.
（1）①求茎叶图中的值；
②如果在竞赛成绩高于
分且按男生和女生分层抽样抽取
人，再从这人中任选
人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这人中有女生的概率；
（2）如果在竞赛成绩高于
分的学生中任选
人参加学校座谈会，用
表示人中成绩超过
分的人数，求的分布列和期望.
名同学成绩的茎叶图如图所示，已知前名女生的平均得分为分.（1）①求茎叶图中
的值；②如果在竞赛成绩高于
分且按男生和女生分层抽样抽取人，再从这人中任选人作为后期举行的“接种疫苗，感恩祖国”主题班会中心发言人，求这人中有女生的概率；（2）如果在竞赛成绩高于
分的学生中任选人参加学校座谈会，用表示人中成绩超过分的人数，求的分布列和期望.
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【推荐2】火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率
对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
(1)求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为
，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；
(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望.
附：经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
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600 | 592 | 43837.2 | 93.8 |
关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数；(2)根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为
，求的分布列和数学期望.附：经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，
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解题方法
【推荐3】某网站点击量等级规定如下：
统计该网站4月份每天的点击数如下表
（1）若从中任选两天，则点击数落在同一等级的概率；
（2）从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量，求随机变量的分布列与数学期望.
点击次数（x万次） | 0≤x<50 | 50≤x<100 | 100≤x<150 | x≥150 |
等级 | 差 | 中 | 良 | 优 |
统计该网站4月份每天的点击数如下表
点击次数（x万次） | 0≤x<50 | 50≤x<100 | 100≤x<150 | x≥150 |
天数 | 5 | 11 | 10 | 4 |
（1）若从中任选两天，则点击数落在同一等级的概率；
（2）从4月份点击量低于100万次的天数中随机抽取3天，记这3天点击等级为差的天数为随机变量
，求随机变量的分布列与数学期望.
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解题方法
【推荐1】一个袋中装有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个黑球，现从中随机摸出3个球．
(1)求至少摸到
个红球的概率；
(2)求摸到红球的个数的概率分布及数学期望．
(1)求至少摸到
个红球的概率；(2)求摸到红球的个数
的概率分布及数学期望．
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名校
解题方法
【推荐2】下表为某班学生理科综合能力测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在
分数段内的学生人数为21.`
(1)求测试成绩在
分数段内的人数；
(2)现欲从分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为
，求分数段内男生的人数；
(3)若在
分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望
分数段内的学生人数为21.`分数段 |
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频率 | 0.1 | 0.15 | 0.2 | 0.2 | 0.15 | 0.1 | * |
分数段内的人数；(2)现欲从
分数段内的学生中抽出2人参加物理兴趣小组，若其中至少有一名男生的概率为，求分数段内男生的人数；(3)若在
分数段内的女生为4人，现欲从分数段内的学生中抽出3人参加培优小组，为分配到此组的3名学生中男生的人数．求的分布列及期望
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解答题-作图题
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名校
【推荐3】设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得的一些数据如下表所示：
作出这组数据的散点图发现：y（cm）与x（天）之间近似满足关系式.
(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于x的线性回归方程；
(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于
的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.
附：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式，分别为
，
| 第x天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 高度ycm | 0 | 4 | 7 | 9 | 11 | 12 | 13 |
.(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于x的线性回归方程
；(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于
的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望.附：回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式，分别为，
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