【推荐1】有一个工厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为元，已知每生产件这样的产品需要再增加成本（元）．已知生产出的产品都能以每件元的价格售出．
（）将该厂的利润（元）表示为产量（件）的函数．
（）要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？

【推荐2】十一长假期间，某宾馆有个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天元时，房间会全部住满.当房间每天的房价每增加元时，就会多一个房间空闲.宾馆每天对游客入住过的每个房间需支出元的各项费用（人工费､消耗费用等等，没有游客入住的房间不用支付此项费用）.受市场调控，每个房间每天的房价不得高于元，设每个房间每天的房价增加元（且为的整数倍）.
(1)设一天订住的房间数为，直接写出关于的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为元，求与的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？

【推荐3】新冠疫情爆发后，某企业利用部分人工转产口罩.每生产万件(每件5个口罩)，需投入固定成本5万元，流动成本万元，当月产量小于7万件时，(万元)；当月产量不小于7万件时，(万元).口罩销售价为6元/件，且生产的口罩能全部售出.
（1）写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式；(注：月利润月销售收入固定成本流动成本)
（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？

【推荐1】已知函数．
(1)若，求函数在上的最小值；
(2)若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围．

【推荐2】已知函数．
(1)求的图象在点处的切线方程，并证明的图象除点以外的所有点都在这条切线上方；
(2)证明：对于一切，均有．

【推荐3】已知函数满足．
(1)求的单调区间；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【推荐2】如图所示的钢板的边界是抛物线的一部分，且垂直于抛物线的对称轴，现欲从钢板上截取一块以为下底边的等腰梯形钢板，其中，均在抛物线弧上．设（米），且．
（1）当时，求等腰梯形钢板的面积；
（2）当为何值时，等腰梯形钢板的面积最大？并求出最大值．

【推荐3】如图所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3.点E是线段BD上异于B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积．
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．