【推荐1】已知数列满足 .
(1)证明：当时，；
(2)证明： ()；
(3)证明：为自然常数.

【推荐2】设函数．数列 满足， ．
（Ⅰ）证明：函数在区间 是增函数；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，整数 ．证明：．

【推荐3】已知无穷数列的首项，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ） 记，为数列的前项和，证明：对任意正整数，.

【推荐1】设n是不小于3的正整数，集合，对于集合S_n中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或．
(1)若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值；
(2)若，证明：；
(3)设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值．

【推荐2】已知集合，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得，则称集合M是“关联的”，并称集合是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”.
(1)分别判断集合与是“关联的”还是“独立的”？
(2)写出（1）中“关联的”集合的所有的“关联子集”；
(3)已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在M的“关联子集”A，使得.若，求证：，，，，是等差数列.

【推荐3】已知集合中的元素都是正整数，且，集合具有性质：对任意的，且，都有.
（1）判断集合是否具有性质；
（2）求证：；
（3）求集合中元素个数的最大值，并说明理由.