【推荐1】点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数
(1)记点的轨迹为曲线，求的方程（写出详细的过程）；
(2)过点的动直线与交于两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得？请说明理由.

【推荐2】已知曲线的参数方程为（为参数，），动直线过点且与相交于，两点.
（1）求曲线的普通方程；
（2）求线段中点的轨迹方程.

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．
（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；
（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；
（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l₁与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l₁的斜率k的取值范围．

【推荐1】在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线于点，关于点的对称点为，连接并延长交于点．设抛物线的焦点为．
(1)若点在抛物线上且，求抛物线的方程；
(2)证明为定值．

【推荐2】已知抛物线和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
(1)求抛物线和双曲线标准方程；
(2)已知动直线过点，交抛物线于两点，记以线段为直径的圆为圆，求证：存在垂直于轴的直线被圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程．

【推荐3】已知点是抛物线的焦点，点，在上，且．
（1）求的值；
（2）若直线经过点且与交于，（异于）两点，证明：直线与直线的斜率之积为常数．