【推荐1】如图所示的“8”字形曲线是由两个关于轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是，双曲线的左、右顶点、是该圆与轴的交点，双曲线与半圆相交于与轴平行的直径的两端点．

（1）试求双曲线的标准方程；
（2）记双曲线的左、右焦点为、，试在“8”字形曲线上求点，使得是直角．

【推荐2】已知双曲线，满足______（从下列条件中选择其中两个补充在横线上并作答）．
①离心率为2；②渐近线为；③过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，若直线l过点，且与双曲线右支交于A、B两点，求直线l的倾斜角的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是否存在以AB为直径的圆经过坐标原点O？若存在，请求出此时的直线l，若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.

【推荐1】已知双曲线C₁：．
（1）求与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4，）的双曲线C₂的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C₁的两条渐近线于A、B两点．当•=3时，求实数m的值．

【推荐2】已知双曲线=1的左、右焦点分别为F₁，F₂.
（1）若点M在双曲线上，且=0，求M点到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程.

【推荐3】已知双曲线与椭圆共焦点，他们的离心率之和为，求双曲线的标准方程.