1 . 如图，点在椭圆上，且.

   

(1)求证：直线为某个定圆的切线：
(2)记为椭圆的左焦点.若存在上述的一对点，使得三点共线，求椭圆的离心率的取值范围.

2 . 椭圆的左右焦点分别为，右顶点为为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中
(1)求椭圆的离心率的取值范围
(2)设双曲线以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点，是双曲线在第一象限上任意一点，当取得最小值时，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . 椭圆，直线AB斜率存在，弦AB中垂线过，求离心率e的取值范围.

4 . 已知椭圆与双曲线．若椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于3，求和的取值范围．

5 . 已知F_1，F₂分别为椭圆C的两个焦点，P为椭圆上任意一点．若的最大值为3，求椭圆C的离心率．

6 . 已知椭圆：（）的左、右两焦点分别为，，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，．
(1)若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
(2)若点到直线的距离不小于，求椭圆的离心率的取值范围．

7 . 已知椭圆：（）的长半轴长为．
(1)若椭圆经过点，求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右顶点，，椭圆上存在点，使得．求椭圆的离心率的取值范围．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，且垂直于x轴，连结并延长交椭圆于另一点Q，设．

（1）若点P的坐标为，求椭圆C的方程；
（2）若，求椭圆C的离心率e的取值范围．

9 . 如图，已知椭圆的中心在原点，长轴左、右端点、在轴上，椭圆的短轴为，且、的离心率都为，直线,与交于两点，与交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为、、、.

(1)设，求与的比值；
(2)若存在直线,使得∥，求两椭圆离心率的取值范围.

10 . 已知椭圆的右焦点，左、右准线分别为l₁：x＝－m－1，l₂：x＝m＋1，且l₁、l₂分别与直线y＝x相交于A、B两点．
（1）若离心率为，求椭圆的方程；
（2）当时，求椭圆离心率的取值范围．