1 . 的外接圆的圆心为，是边的中点，与外接圆交于点，，点在上，过点的外接圆的切线与相交于点．用同样的方式，可以构造点和．证明：、、三点共线．

2 . 已知的内切圆分别与边，切于点，，与交于点，点，满足四边形和四边形式平行四边形．证明：．

3 . 已知圆是等边的外接圆，设圆与外切且切点异于点、、，点、、在圆上，且使得、、与圆相切．证明：线段、、中的一线段的长短等于另两线段长度之和．
   

4 . 已知圆、交于点、，且内切于圆，切点分别为、，为圆上的任意一点，线段、分别与圆、交于，．证明：
(1)与圆切于点的直线和与圆切于点的直线平行；
(2)是圆与圆的公切线的充分必要条件是在直线上．

5 . 设圆的内接凸四边形的两条对角线、的交点为，过、两点的圆与过、两点的圆相交于两点和，且圆、圆分别与圆相交于另一点、．求证：直线、、或者共点或者相平行．
   

6 . 如图，过的顶点，，且与，交于，（与不同），的外接圆和的外接圆相交于和．求证：．
   

7 . 如图，设与相离，引它们的一条外公切线切于，切于，又引它们的一条内公切线切于，且于．求证：直线和的交点在两圆的连心线上．
   

8 . 如图，设是的内心，过作的垂线，分别交边，于，．求证：分别于及相切于及的圆必与的外接圆相切．
   

9 . 如图，从半圆上的一点向直径引垂线，设垂足为，作切，，分别于，，．求证：．