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1 . 三角函数的定义是：在单位圆C：
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为
，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积
．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：
中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是
，双曲角
，则P的坐标是
．其中，
称为双曲余弦函数，
称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数
双曲余切函数
且有如下关系式：
，
,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；
②
；
（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；
②若对
，关于x的方程
有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为
，写出
的级数展开式．
中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，
,的初等函数表达式．（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①
；②
；（Ⅱ）①求函数
在R上的值域；②若对
，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知
的级数展开式为，写出的级数展开式．
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2 . 已知
，
(1)求
的反函数
；
(2)已知
，若
，使得
，求
的最大值．
，(1)求
的反函数；(2)已知
，若，使得，求的最大值．
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2023-12-30更新
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538次组卷
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2卷引用：辽宁省沈阳市辽宁省实验中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题
解题方法
3 . 已知函数
．
(1)求的反函数；
(2)若函数
，当
时，
，求a的取值范围．
．(1)求
的反函数；(2)若函数
，当时，，求a的取值范围．
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解题方法
4 . 已知函数是函数
（
且
）的反函数，且
．
(1)求函数的解析式；
(2)设
．
（i）写出函数
的单调区间，并指明单调性；（无需证明）
（ⅱ）求在区间
（其中
且
）上的最小值
和最大值
．
是函数（且）的反函数，且．(1)求函数
的解析式；(2)设
．（i）写出函数
的单调区间，并指明单调性；（无需证明）（ⅱ）求
在区间（其中且）上的最小值和最大值．
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5 . 已知函数
(1)求函数
的反函数
的值域.
(2)若
是反函数图象上的一点，求函数的值域.
(1)求函数
的反函数的值域.(2)若
是反函数图象上的一点，求函数的值域.
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（
为常数且
）满足
且方程
有等根．
的解析式;
的反函数为
若
对
恒成立,求实数
的取值范围．
