2024·山东·模拟预测
解题方法
1 . 如图①,将
个完全一样质量均匀长为
的长方体条状积木,一个叠一个,从桌子边缘往外延伸,最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢?这就是著名的“里拉斜塔问题”.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/3/23/bc879c7d-8f43-4e6c-b6d8-ddd10ad2a335.png?resizew=507)
解决方案如下:如图②,若
,则当积木与桌缘垂直且积木重心
恰与桌缘齐平时,其伸出桌外部分最长为
,如图③,若
,欲使整体伸出桌缘最远,在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时,可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平,然后设最下方积木伸出桌外的长度为
,将最下方积木看成一个杠杆,将桌缘看成支点,由杠杆平衡原理可知,若积木恰好不掉下桌面,则上面积木的重力
乘以力臂
,等于最下方积木的重力
乘以力臂
,得出方程
,求出
.所以当叠放两个积木时,伸出桌外最远为
,此时将两个积木看成整体,其重心
恰与桌缘齐平.如图④,使前两块积木的中心
与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平,便可求出
时积木伸出桌外的最远距离.依此方法,可求出4个、5个直至
个积木堆叠伸出桌外的最远距离.(参考数据:
,
为自然常数)
(1)分别求出
和
时,积木伸出桌外的最远距离.(用
表示);
(2)证明:当
时,积木伸出桌外最远超过
;
(3)证明:当
时,积木伸出桌外最远不超过
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c88d9142df6ba8e43c1a93bd04a1362.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2024/3/23/bc879c7d-8f43-4e6c-b6d8-ddd10ad2a335.png?resizew=507)
解决方案如下:如图②,若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c87b351f16728b0023fd63678f8103c7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23f919bd3dde10dbbc076f7ec5149699.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b00c12002fe4b07e3f91c7ae5c9192dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cc2d3df37e73a8abea815f37dbb3fff5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dc11468f07d42dda1d7d51107aab02fe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/18b4ed74387268c43450135937805101.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7050b91eacc62f73d872eeb628f3565c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2926c82d9ad9f5ba647c83fa3024f323.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c4f6f74444b2b7947fc6e35c8d62322.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c4f6f74444b2b7947fc6e35c8d62322.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0af3a30b2f1dbc2fa12eb6759eee69d0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/041a7c8fc017f596542c5e6ec7d1c40b.png)
(1)分别求出
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be604061cf1591f7069472269d4c9719.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fac3649308b528fd56545ba102dc42d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c88d9142df6ba8e43c1a93bd04a1362.png)
(2)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca71b6d6fd74f098d1e78161820dd3b6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d916a406adac9fa4dcfbad152547ac9.png)
(3)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/30589b25ca71883ec4a5d1824c243bad.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81731a804207d04115c15a16f3a27011.png)
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11-12高三·山东聊城·阶段练习
名校
2 . 如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(Ⅰ)设AD=x(x
0),ED=y,求用x表示y的函数关系式,并注明函数的定义域;
(Ⅱ)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?
如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/1/10/1570683392024576/1570683397652480/STEM/7430b057aee34144a1300d01c331a67a.png)
请给予证明.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/1/10/1570683392024576/1570683397652480/STEM/49fa83c010ec43819c11986b3e165a05.png)
(Ⅱ)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?
如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2012/1/10/1570683392024576/1570683397652480/STEM/7430b057aee34144a1300d01c331a67a.png)
请给予证明.
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