2024·山东·模拟预测
解题方法
1 . 如图①,将个完全一样质量均匀长为的长方体条状积木,一个叠一个,从桌子边缘往外延伸,最多能伸出桌缘多远而不掉下桌面呢?这就是著名的“里拉斜塔问题”.
解决方案如下:如图②,若,则当积木与桌缘垂直且积木重心恰与桌缘齐平时,其伸出桌外部分最长为,如图③,若,欲使整体伸出桌缘最远,在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时,可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平,然后设最下方积木伸出桌外的长度为,将最下方积木看成一个杠杆,将桌缘看成支点,由杠杆平衡原理可知,若积木恰好不掉下桌面,则上面积木的重力乘以力臂,等于最下方积木的重力乘以力臂,得出方程,求出.所以当叠放两个积木时,伸出桌外最远为,此时将两个积木看成整体,其重心恰与桌缘齐平.如图④,使前两块积木的中心与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平,便可求出时积木伸出桌外的最远距离.依此方法,可求出4个、5个直至个积木堆叠伸出桌外的最远距离.(参考数据:,为自然常数)
(1)分别求出和时,积木伸出桌外的最远距离.(用表示);
(2)证明:当时,积木伸出桌外最远超过;
(3)证明:当时,积木伸出桌外最远不超过.
解决方案如下:如图②,若,则当积木与桌缘垂直且积木重心恰与桌缘齐平时,其伸出桌外部分最长为,如图③,若,欲使整体伸出桌缘最远,在保证所有积木最长棱与桌缘垂直的同时,可先将上面积木的重心与最下方的积木伸出桌外的最远端齐平,然后设最下方积木伸出桌外的长度为,将最下方积木看成一个杠杆,将桌缘看成支点,由杠杆平衡原理可知,若积木恰好不掉下桌面,则上面积木的重力乘以力臂,等于最下方积木的重力乘以力臂,得出方程,求出.所以当叠放两个积木时,伸出桌外最远为,此时将两个积木看成整体,其重心恰与桌缘齐平.如图④,使前两块积木的中心与下方的第三块积木伸出桌外的最远端齐平,便可求出时积木伸出桌外的最远距离.依此方法,可求出4个、5个直至个积木堆叠伸出桌外的最远距离.(参考数据:,为自然常数)
(1)分别求出和时,积木伸出桌外的最远距离.(用表示);
(2)证明:当时,积木伸出桌外最远超过;
(3)证明:当时,积木伸出桌外最远不超过.
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解题方法
2 . 为了激励销售人员的积极性,某企业根据业务员的销售额发放奖金(单位:十万元),奖金发放方案具备下列两个条件:①奖金随销售额的增加而增加;②奖金金额不低于销售额的5%.经研究,该企业拟采用函数模型作为奖金发放方案.
(1)判断此奖金发放方案是否满足条件①?并证明你的结论;
(2)若,该奖金发放方案满足上述条件,求实数m的取值范围.
(1)判断此奖金发放方案是否满足条件①?并证明你的结论;
(2)若,该奖金发放方案满足上述条件,求实数m的取值范围.
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解题方法
3 . 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形,面积为162平方米的三级污水处理池,平面图如图所示,池的深度一定,已知池四周围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计,设水池的宽为x米,总造价为y元.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)证明:函数在上单调递增;
(3)当污水处理池的宽为多少米时,总造价最低?并求出最低总造价.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)证明:函数在上单调递增;
(3)当污水处理池的宽为多少米时,总造价最低?并求出最低总造价.
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11-12高三·山东聊城·阶段练习
名校
4 . 如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(Ⅰ)设AD=x(x0),ED=y,求用x表示y的函数关系式,并注明函数的定义域;
(Ⅱ)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?
如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?
请给予证明.
(Ⅱ)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?
如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?
请给予证明.
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