2021高一上·江苏·专题练习
1 . 阅读与探究
人教
版
普通高中课程标准实验教科书数学
必修
在第一章的小结中写道:将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法,而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆,建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系,从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数
因此,正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质
主要是对称性
之间存在着非常紧密的联系
例如,和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性;单位圆周长为
与正弦函数、余弦函数的周期为
是一致的;圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等
因此,三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.
下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图,角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线,重足为M.根据三角函数定义.我们有:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/740c4e02ea44059a742fe712b33ed5c8.png)
如图.过点A(1,0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?),设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA,AT.我们有
.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.单位圆中的三商品数线是数形结合的有效工具,借助它,不但可以画出准确的三角函数图象,还可以讨论三角函数的性质.
依据上述材料,利用正切线可以讨论研究得出正切函数
的性质.比如:由图可知,角
的终边落在四个象限时均存在正切线;角
的终边落在
轴上时,其正切线缩为一个点,值为
;角
的终边落在
轴上时,其正切线不存在;所以正切函数
的定义域是
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/4/2887303024148480/2952182990020608/STEM/885304dd7a7a43dfac7bb725042a64fa.png?resizew=265)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/4/2887303024148480/2952182990020608/STEM/c3d888c72d8f405ea7293bb622899689.png?resizew=265)
(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数
的单调性和奇偶性;
(2)根据阅读材料中图,若角
为锐角,求证:
.
人教
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e9fdc1f8ed0ae44b54a9a2a3aca2db4.png)
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下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图,角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线,重足为M.根据三角函数定义.我们有:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/740c4e02ea44059a742fe712b33ed5c8.png)
如图.过点A(1,0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?),设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA,AT.我们有
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依据上述材料,利用正切线可以讨论研究得出正切函数
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![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/4/2887303024148480/2952182990020608/STEM/c3d888c72d8f405ea7293bb622899689.png?resizew=265)
(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数
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(2)根据阅读材料中图,若角
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