1 . 已知a、b都是非零实数，且，．求证的充要条件是．

2 . 设实数x，y满足．
(1)若，求x的取值范围；
(2)若，，求证：．

3 . 先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为，第二次购物时该物品单价为（）.甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为.
（1）求，的表达式（用表示）；
（2）通过比较，的大小，说明哪种购物方式比较划算.

4 . 比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）当，且时，与.

5 . 已知，.
（1）求证：；
（2）若，求ab的最小值.

6 . 等差数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）当时，证明：.

7 . 某学校组织老师去某地参观学习，需包车前往.甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说：“你们属团体票按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的.试根据去的老师人数，比较两车队的收费哪家更优惠.

8 . 如果用糖制出糖溶液,则糖的质量分数为.若在上述溶液中再添加糖.
(Ⅰ)此时糖的质量分数增加到多少？（请用分式表示）
(Ⅱ)请将这个事实抽象为数学问题，并给出证明.

9 . 已知a>0，b>0，求证：.

10 . 若，，求证：.