1 . 如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A､B两点，且△的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；
(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上的一个动点，以为圆心过椭圆左焦点的圆与直线相切，的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，以，为邻边作平行四边形，是否存在常数，使得点的轨迹在椭圆上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

3 . 已知过圆C₁：x²+y²＝1上一点的切线，交坐标轴于A、B两点，且A、B恰好分别为椭圆C₂：（a＞b＞0）的上顶点和右顶点．
（1）求椭圆C₂的方程；
（2）已知P为椭圆的左顶点，过点P作直线PM、PN分别交椭圆于M、N两点，若直线MN过定点Q（﹣1，0），求证：PM⊥PN．

4 . 设，分别是椭圆的左､右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．
（1）若直线的斜率为，求的离心率；
（2）已知（1）中椭圆上一点到左焦点的最大距离是6，求该椭圆方程．

5 . 在平面直角坐标系中，椭圆经过点，焦距为4.经过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线经过椭圆的上顶点时，求的面积；
（3）若经过点作的垂线，并与直线相交于点.当最大时，求直线的方程.

6 . 已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.

7 . 已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.

8 . 设椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为为坐标原点，点到直线的距离为为等腰三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点(点在点的上方)求线段与的长度之比.

9 . 如图，已知椭圆()的长轴两个端点分别为，，（）是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使（），交于，交于.

（1）若，的最大面积为12，离心率为，求椭圆方程；
（2）若，，成等比数列，求的值.

10 . 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P为坐标平面内的一点，且，，O为坐标原点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线，的倾斜角分别为，，且证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.