1 . 已知椭圆 的离心率为，其左、右焦点分别为，上顶点为，且的面积为.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆交于两点，为坐标原点.试求当为何值时，使得恒为定值，并求出该定值.

2 . 已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆的长轴和短轴的长的倍，过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，若，求的面积的最大值．

3 . 已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求面积的最大值．

4 . 已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.