1 . 在平面直角坐标系中，已知点，，设直线，的斜率分别为，，且，记点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）若直线：与相交于，两点，求．

2 . 已知，两点分别在x轴和y轴上运动，且，若动点满足．
求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；
一条纵截距为2的直线与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程．

3 . 已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足.
(Ⅰ)当点在圆上运动时，判断点的轨迹是什么？并求出其方程；
(Ⅱ)若斜率为的直线与圆相切，与(Ⅰ)中所求点的轨迹交于不同的两点，且（其中是坐标原点）求的取值范围.

4 . 已知动圆与圆：相切，且与圆：相内切，记圆心的轨迹为曲线.设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于,两个不同的点.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；
（Ⅲ）记的面积为，的面积为，令，求的最大值.