1 . 中心在原点的双曲线
的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点
；
②该曲线的渐近线与圆
相切；
③点
在该双曲线上，
，
为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为
时，以，为直径的圆经过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点
能否作直线
，使与此双曲线相交于
两点，且
是弦
的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点
；②该曲线的渐近线与圆
相切；③点
在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点
能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．
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2 . 类比推理在数学发现中有重要的作用，运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征．比如：根据椭圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到双曲线的简单几何性质等．
（1）请同学们类比椭圆的简单几何性质，填写下表中双曲线的相关性质．
（2）已知双曲线C与椭圆
有相同的焦点，并且离心率为，求双曲线C的标准方程．
（1）请同学们类比椭圆的简单几何性质，填写下表中双曲线的相关性质．
类比角度 | 椭圆的简单几何性质 （以  为例） | 双曲线的简单几何性质 （以  为例） |
范围 |
| |
对称性 | 坐标原点为对称中心，x轴，y轴为对称轴 | |
焦点坐标 |
| |
顶点坐标 |
| |
有关几何量及其关系 | 长轴长 ，短轴长 ，焦距 ，且  | |
离心率 |  且 |
有相同的焦点，并且离心率为，求双曲线C的标准方程．
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3 . 如图，平面上，，
两点间距离为
，
为
的中点，现一动点
，它在运动过程中始终保持到点的距离比到点的距离大2（
共面），请建立适当的平面直角坐标系．
(1)求出动点运动的轨迹方程；
(2)当
的面积为
时，在内画一个圆，求可画出圆的最大面积．
，两点间距离为，为的中点，现一动点，它在运动过程中始终保持到点的距离比到点的距离大2（共面），请建立适当的平面直角坐标系．(1)求出动点
运动的轨迹方程；(2)当
的面积为时，在内画一个圆，求可画出圆的最大面积．
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