1 . 已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；

2 . 已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.

3 . 已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率e=，且过点(4,).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:.

4 . 已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.
（Ⅰ）求a,b；
（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.

5 . 如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点F垂直于的直线分别交于A，B两点．又已知该双曲线的离心率．

（1）求证：，依次成等差数列；
（2）若，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度．

6 . 已知斜率为1的直线与双曲线：相交于两点，且的中点为
（Ⅰ）求的离心率；
（Ⅱ）设的右顶点为，右焦点为，，证明：过三点的圆与轴相切．