1 . 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；
(3)直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．

2 . 在平面直角坐标系 ​中：①已知点​， 直线​，动点​满足到点​的距离与到直线​的距离之比​；②已知点​分别在​轴，​轴上运动， 且​， 动点​满​； ③已知圆​的方程为​， 直线​为圆​的切线， 记点​到直线​的距离分别为​， 动点​满足​．
(1)在①，②，③这三个条件中任选一个， 求动点 ​的轨迹方程；
(2)记 （1）中动点 ​的轨迹为​， 经过点​的直线​交​于​两点， 若线段​的垂直平分 线与​轴相交于点​， 求点​纵坐标的取值范围．

3 . 已知椭圆C：离心率为，焦距为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y=x+d与椭圆C交于A，B两点，平面直角坐标系内的点M，使得的角平分线与x轴垂直，且点M的坐标与d无关，求点M的坐标.

4 . 已知椭圆的离心率为，抛物线的焦点为点F，过点F作y轴的垂线交椭圆于P，Q两点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过抛物线上一点A作抛物线的切线l交椭圆于B，C两点，设l与x轴的交点为D，BC的中点为E，BC的中垂线交x轴于点G，若，的面积分别记为，，且，点A在第一象限，求点A的坐标．

5 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程：
(2)过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率.

6 . 已知椭圆C：的离心率为，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

7 . 已知椭圆的焦点在轴上，焦距为2，离心率为，过点的直线与椭圆交于，（不重合）两点，坐标原点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段的中点的横坐标为，求直线的方程；
(3)若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程.

9 . 已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线和圆：相切，交椭圆于另一点，为坐标原点，线段，分别和圆交于，两点.若，的面积分别记为，，求的取值范围.

10 . 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.已知椭圆：.
(1)若椭圆：，试判断与是否相似?如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
(2)写出与椭圆相似且短半轴长为b，焦点在x轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求实数的取值范围.