1 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作两条直线分别交椭圆于点，满足直线，的斜率之和为，求证：直线过定点.

2 . 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，且的四个顶点构成的四边形面积等于1，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）当椭圆的长轴在轴上时，若椭圆与直线(，为常数)相交于不同两点，，记直线与轴的交点为，且，求的取值范围.

3 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为，过点作直线交椭圆于点，（与，均不重合）.当点与椭圆的上顶点重合时，.
（1）求椭圆的方程
（2）设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过点作斜率为的直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，记的纵截距为，求的取值范围.

5 . 已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）已知椭圆的左顶点为，点在圆上，直线与椭圆交于另一点，且的面积是的面积的倍，求直线的方程.