1 . 已知为平面直角坐标系上的动点，记其轨迹为曲线．
(1)请从以下两个条件中选择一个，求对应曲线的方程．
①已知点，直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为：
②已知点是圆上的任意一点，点为圆的圆心，点与点关于原点对称，线段的垂直平分线与线段交于点；
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
(2)延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于两点，求面积的最大值．

2 . 已知椭圆T以坐标原点O为对称中心，以坐标轴为对称轴，且过，．
(1)求椭圆T的标准方程；
(2)若A、B为椭圆上两点，且以线段AB为直径的圆经过O点．
①求证：为定值；
②求面积的取值范围．

3 . 椭圆上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设的横坐标为，且，当面积等于时，求的取值．

4 . 已知椭圆，是椭圆上的两个不同的点，为坐标原点，三点不共线，记的面积为.
   
(1)若，求证：；
(2)记直线的斜率为，当时，试探究是否为定值并说明理由.

5 . 设椭圆 ​的右焦点为​，右顶点为​，上顶点为​. 已知椭圆 的短轴长为​，且有​.
(1)求椭圆的方程;
(2)设 ​为该椭圆上两动点，​分别为​在​轴上的射影，而直线​、​的斜率分别为、​，满足​，其中​为原点. 记​和​的面积之和为​，求​的最大值

6 . 如图，中心在原点的椭圆的右焦点为，长轴长为．椭圆上有两点、，连接、，记它们的斜率为、，且满足．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：为一定值，并求出这个定值；
(3)设直线与椭圆的另一个交点为，直线和分别与直线交于点、，若和的面积相等，求点的横坐标．

7 . 椭圆E：，长轴长为4c（c为半焦距），左顶点为A，过点A作直线与椭圆E交于另一个点P（点P在第一象限），P、Q两点均在椭圆上且关于x轴对称，点O为坐标原点，直线OP的斜率为，直线与△APQ的外接圆C（C为圆心）相切于P点，与椭圆交于另一个点T，且；

(1)求椭圆E的离心率；
(2)求直线与直线的斜率；
(3)求椭圆E的标准方程.

8 . 已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，．
（1）求的轨迹方程，并说明曲线的类型；
（2）当时，为（1）中的所在曲线上任意一点．过点的直线交曲线：于，两点，射线交曲线于点．
求的值；
求面积的最大值．