1 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求的面积；
(3)求直线与直线的交点的轨迹方程.

2 . 已知椭圆C：（）的焦距为，且经过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线交椭圆C于A、B两点，求（O为原点）面积的最大值.

3 . 已知椭圆的离心率为，椭圆的长轴是圆的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交圆于，两点，求四边形面积的取值范围.

4 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点为椭圆C上一点，过点的直线l与椭圆C交于异于点P的A，B两点，若的面积是，求直线l的方程．

5 . 已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）为坐标原点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点，，若，求△的面积.

6 . 已知椭圆的右焦点为，过点的直线（不与轴垂直）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点作，垂足为.
（1）求四边形（为坐标原点）面积的取值范围；
（2）证明：直线过定点，并求点的坐标.

7 . 已知直线：与椭圆：交于，两点.
（1）若直线过椭圆的左焦点，求；
（2）线段的垂直平分线与轴交于点，求.

8 . 椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当的面积为时，求直线的斜率.

9 . 已知过点的曲线的方程为．
（Ⅰ）求曲线的标准方程:
（Ⅱ）已知点，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，．
（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；
（ⅱ）求最大值．

10 . 设椭圆（）的左焦点为，过且轴垂直的直线与椭圆的一个交点为.

（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，过且与垂直的直线与轴和轴分别交于、两点，记和的面积分别为、，若，求直线的方程.