1 . 椭圆E的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为，，点在椭圆E上．
(1)求椭圆E的方程．
(2)过点的直线l与椭圆E交于P，Q两点（异于点A，B），记直线AP与直线BQ交于点M，试问点M是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说明理由．

2 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的离心率为，短轴的下端点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆上异于且不关于轴对称的两点，，的中点为，求证：点在定直线上运动.

4 . 如图，已知是椭圆的左、右焦点，椭圆的短轴长为，点是椭圆上的一点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（不过点），且三角形的周长的最大值为8.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过焦点，在椭圆上取两点，连接，与轴的交点分别为，过点作椭圆的切线，当四边形为菱形时，证明：直线.