1 . 已知椭圆：的离心率为，右焦点为，，分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为的直线，直线与椭圆交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；
(3)在（2）的条件下，直线与直线交于点，求证：点在定直线上.

2 . 已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，动点在椭圆上且异于点、，直线、与直线分别交于点、.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求线段长的最小值；
(3)如图，设直线与轴交于点，过点作直线交椭圆与、，直线与交于一点，证明：点在一条定直线上.

3 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；
(2)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程；
(3)若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．

4 . 设点、分别是椭圆C：的左、右焦点，且，点M、N是椭圆C上位于轴上方的两点，且向量与向量平行.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当时，求的面积；
（3）当时，求直线的方程.

5 . 已知椭圆，点为椭圆外一点．
（1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上．

6 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线l与椭圆交于A，B两点.
（1）若是直线l的一个法向量，求直线l的标准方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程；
（3）在线段上取点Q，使得，求证：点Q在一条定直线上.

7 . 已知椭圆：（）的离心率为，上、下顶点分别为，，直线经过点且与椭圆交于，两点，当时，四边形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若直线，交于点，试判断点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．

8 . 如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.

（1）求椭圆M的方程；
（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上.

9 . 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交所得弦长为，求直线的斜率；
（3）过点的任意直线与椭圆交于、两点，设点、到直线：的距离分别为.若，求的值.

10 . 已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点．
求椭圆C的方程；
若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点．