1 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.

(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.
证明：①为定值；
②.

2 . 过双曲线的右焦点作斜率相反的两条直线、，与的右支交与、两点，与的右支交、两点，若、相交于点．
(1)求证：点为定点；
(2)设的中点为的中点为，当四边形的面积等于时，求四边形的周长．

3 . 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：的值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

4 . 已知双曲线：，是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的（       ）

A．该双曲线的渐近线方程为

B．若，则或12

C．若是直角三角形，则满足条件的点共4个

D．若点在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切