1 . 已知曲线上任意一点到定点的距离比到轴的距离大1，为坐标原点，，是曲线上异于的两点.
（1）求出曲线的方程；
（2）若直线，的斜率之积等于，判断直线是否过定点，如果过定点，请求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由.

2 . 已知抛物线，焦点到准线的距离为，过点作直线交抛物线于点 (点在第一象限).
(1)若点与焦点重合，且弦长，求直线的方程；
(2)若点关于轴的对称点为，直线交轴于点，且，求证：点的坐标是，并求点到直线的距离的取值范围.

3 . 抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，准线与圆相切.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线和抛物线交于点，，命题:“若直线过定点，则”，请判断命题的真假，并证明.

4 . 已知抛物线C：焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为2，且．
（1）求此抛物线C的方程；
（2）过点作直线交抛物线C于A，B两点，求证：．