1 . 已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点﹐，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且，求的面积．

2 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：长轴是短轴的倍，点(2，1)在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与圆O：相切，切点在第一象限，与椭圆C相交于P，Q两点.
①求证：以PQ为直径的圆经过原点O；
②若△OPQ的面积为求直线l的方程.

3 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，且，设是上一点，且，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不与轴垂直的直线过点，交椭圆于，两点，试判断在轴的负半轴上是否存在一点，使得直线与斜率之积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆的左焦点，点为椭圆C上一点，如图，经过圆上一动点P作椭圆C的两条切线分别切于点A，B，切线分别与圆O相交于异于点P的点M，N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）记.
（i）证明：；
（ii）求的取值范围.

5 . 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点，，是椭圆上的不同两点，且以为直径的圆经过原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆恒与直线相切，若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由；
（3）求的最小值.

6 . 如图所示，椭圆：的离心率为，右准线方程为，过点作关于轴对称的两条直线，且与椭圆交于不同两点 与椭圆交于不同两点

（1）求椭圆的方程；
（2）证明：直线与直线交于点；
（3）求线段长的取值范围．

7 . 已知、分别为椭圆的右焦点和左顶点，，分别在椭圆上运动，点，分别在直线，上.
（1）若，求的值；
（2）记，若直线过点，求证：.

8 . 已知椭圆：的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆自上而下交于两点.

（1）证明：直线与的交点在定直线上；
（2）记和的面积分别为和，求的取值范围.

9 . 已知椭圆过点，分别为椭圆C的左、右焦点且.

（1）求椭圆C的方程；
（2）过P点的直线与椭圆C有且只有一个公共点，直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）.
（i）当面积最大时，求的方程；
（ii）求证：，并判断，的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.

10 . 已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线过的下顶点时，的斜率为，当直线垂直于的长轴时，的面积为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）若直线上存在点满足成等比数列，且点在椭圆外，证明：点在定直线上．