1 . 为了给学生提供优雅的学习环境，某学校决定在夹角为30°的两条道路､之间建造一个半椭圆形状的小花园，如图所示，百米，O为AB的中点，OD为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个三角形区域OMN，作为生物课学习植物的基地.其中M，N在椭圆上，且MN的倾斜角为45°，交OD于G.

(1)若百米，为了不破坏道路EF，求椭圆长半轴长的最大值；
(2)若椭圆的离心率为，当线段OG长为何值时，生物学习基地的面积最大？

3 . 已知斜率为的直线交椭圆于A，两点，的垂直平分线与椭圆交于，两点，点是线段的中点．
（1）若，求直线的方程以及的取值范围；
（2）不管怎么变化，都有A，，，四点共圆，求的取值范围．

4 . 设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．点满足．
（1）求点的轨迹的方程．
（2）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与（1）中的曲线交于两点，．分别记，的面积为，，求的取值范围．

5 . 已知椭圆的上顶点为，且T与椭圆E的两个焦点构成一个等腰直角三角形．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若不过点的动直线与E交于点A，B，点满足求T到直线距离的最大值．

6 . 已知椭圆E：=1(a>b>0)的右焦点为F(c，0)，圆O：x²+y²=a²，过点F与x轴垂直的直线在第一象限交圆与椭圆分别于点A，B，且|AF|=|BF|，点在椭圆上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点F且斜率为k的直线l与E交于C，D两点，CD的中点为M，直线OM与椭圆有一个交点为N，若，求△MNF的面积.

7 . 已知椭圆的焦距为，且过点．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C有且只有一个公共点，l与圆x²+y²＝6交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别记为k₁，k₂．试判断k₁∙k₂是否为定值，若是，求出该定值；否则，请说明理由．