1 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．

3 . 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为.上、下顶点分别为，且面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上一点（不与顶点重合），直线与x轴交于点M，直线、分别与直线交于点N、D，求证：与的面积相等.

4 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点，设O为原点，直线与椭圆交于两个不同点P，Q，
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，且，求证：直线l经过定点；
(3)若，求面积的最大值，并求此时直线l的方程．

5 . 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”．
如图，为椭圆的“共轭点对”，已知，且点在直线上，直线过原点．
   
(1)求直线的方程；
(2)已知是椭圆上的两点，为坐标原点，且．
（i）求证：线段被直线平分；
（ii）若点在第二象限，直线与相交于点，点为的中点，求面积的最大值．

6 . 已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．
①求证：点在定直线上；
②求面积的最大值．

7 . 已知椭圆经过点，且焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，．
①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值；
②求四边形面积的最大值．

8 . 已知椭圆的左焦点为F，P，Q分别为左顶点和上顶点，O为坐标原点，（为椭圆的离心率），的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点．求证：四边形为梯形.

9 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点.
（ⅰ）求与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.

10 . 已知椭圆：，点（）与上的点之间的距离的最大值为6．
(1)求点到上的点的距离的最小值；
(2)过点且斜率不为0的直线交于，两点（点在点的右侧），点关于轴的对称点为．
①证明：直线过定点；
②已知为坐标原点，求面积的取值范围．