1 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.

2 . 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点.
（ⅰ）求与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.

3 . 已知椭圆C：，且该椭圆的离心率为，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C交于A、B 两点，线段 AB的中点为M.
(1)证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；
(2)若直线l的方程为，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB为平行四边形，求椭圆C的方程．

4 . 已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)直线交于两点.
（i）点关于原点的对称点为，直线的斜率为，证明：为定值；
（ii）若上存在点使得在上的投影向量相等，且的重心在轴上，求直线的方程.

5 . 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求证：．

6 . 已知椭圆 与圆 在第一、第二象限分别交于 Q、P 两点，且满足
(1)求椭圆γ的标准方程；
(2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值.

7 . 已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值.

8 . 已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值.

9 . 设为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点关于原点的对称点为，四边形的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过的直线交椭圆于两点，求证：为定值.

10 . 已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，若四边形面积为4，椭圆C离心率为；
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设点Q是椭圆C上异于，的一动点，过定点与动点Q的直线与椭圆C交于另一点P，记直线，的斜率分别为，，若直线PQ的斜率存在，求的值.