1 . 已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且，的斜率之积为.
(1)求的方程；
(2)过的两焦点、作两条相互平行的直线，交于，和，，求四边形面积的取值范围.

2 . 已知为坐标原点，定点，，圆，是圆内或圆上一动点，圆与以线段为直径的圆内切.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设的轨迹为曲线，若直线与曲线相切，过点作直线的垂线，垂足为，证明：为定值.

3 . 已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为、，以点为圆心，为半径作圆，与轴交于点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点，点、为椭圆上异于点且关于原点对称的两点，直线、与轴分别交于点、，记以为直径的圆为⊙，试判断是否存在直线截⊙的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由．

4 . 已知直线：，：，动点在椭圆：上，作交于，作交于.

(1)求的值；
(2)设直线：交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值.其中为坐标原点.

5 . 已知椭圆C经过，两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l与C交于P，Q两点，M是PQ的中点，O是坐标原点，，求证：的边PQ上的高为定值．

6 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）若一条直线与椭圆分别交于，两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．

7 . 设椭圆的离心率，过椭圆上一点作两条不重合且倾斜角互补的直线､分别与椭圆交于､两点，且中点为.
（1）求椭圆C方程.
（2）椭圆上是否存在不同于的定点，使得的面积为定值，如果存在，求定点的坐标；如果不存在，说明理由.

8 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，且的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设线段的中垂线与轴交于点，求证：．