1 . 甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束．经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空．设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为．
(1)求和；
(2)求．

2 . 某景区内有一项“投球”游戏，游戏规则如下：游客投球目标为由近及远设置的A，B，C三个空桶，每次投一个球，投进桶内即成功，游客每投一个球交费10元，投进A桶，奖励游客面值20元的景区消费券；投进B桶，奖励游客面值60元的景区消费券；投进C桶，奖励游客面值90元的景区消费券；投不进则没有奖励.游客各次投球是否投进相互独立.

(1)向A桶投球3次，每次投进的概率为p，记投进2次的概率为，求的最大值点；
(2)游客甲投进A，B，C三桶的概率分别为，若他投球一次，他应该选择向哪个桶投球更有利？说明理由.

3 . 学校组织解题能力大赛，比赛规则如下：依次解答一道解析几何题和两道立体几何题，解析几何正确得2分，错误得0分；两道立体几何全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分；总分是两部分得分之和．小明同学准备参赛，他目前的水平是：解析几何解答正确的概率是；每道立体几何解答正确的概率均为．假设小明同学每道题的解答相互独立，
(1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率；
(2)求小明同学获得的总分X的分布列．

4 . 2022年2月4日晚，璀璨的烟花点亮“鸟巢”上空，国家体育场再次成为世界瞩目的焦点，北京成为奥运历史和人类历史上第一座举办过夏奥会和冬奥会的“双奥之城”，奥林匹克梦想再次在中华大地绽放．冰雪欢歌耀五环，北京冬奥会开幕式为第二十四届“简约、安全、精彩”的冬奥盛会拉开序幕．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“开幕式”当晚的收看情况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占，通过电视收看的约占，其他为未收看者
(1)从该地区被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从该地区被调查对象中随机选取3人，用表示通过电视收看的人数，求的分布列和期望．

5 . 随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论.在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性.元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.现有（，）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为（）.当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路.现要用这个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作.

(1)（i）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性、（用和表示）；
（ii）比较，的大小，判断哪种连接方案更稳定可靠，并给出证明；
(2)设，，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为，求随机变量的分布列和数学期望.

7 . 女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲､乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.求两队打了个球后，甲队赢得整场比赛的概率.

8 . 为了研究高三年级学生的性别与体重是否超过55kg的关联性，某机构调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表．

单位：人

性别	体重		合计
	超过55kg	不超过55kg
男	180	120	300
女	90	110	200
合计	270	230	500

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与体重有关联？
(2)按性别采用分层随机抽样的方式在该中学高三年级体重超过55kg的学生中抽取9人，再从这9人中任意选取3人，记选中的女生数为X，求X的分布列与期望．
参考公式和数据：，n＝a＋b＋c＋d．

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

10 . 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.7，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．
(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．