1 . 在数字的任意一个排列:中,如果对于,,有,那么就称为一个逆序对.记排列中逆序对的个数为.如时,在排列:3,2,4,1中,逆序对有,,,,则.
(1)设排列:,写出两组具体的排列,分别满足:①,②;
(2)对于数字1,2,…,n的一切排列,求所有的算术平均值;
(3)如果把排列A:中两个数字交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列,:,求证:为奇数.
(1)设排列:,写出两组具体的排列,分别满足:①,②;
(2)对于数字1,2,…,n的一切排列,求所有的算术平均值;
(3)如果把排列A:中两个数字交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列,:,求证:为奇数.
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2 . 已知,对于有限集,令表示集合中元素的个数.例如:当时,,.
(1)当时,请直接写出集合的子集的个数;
(2)当时,,都是集合的子集(,可以相同),并且.求满足条件的有序集合对的个数;
(3)假设存在集合、具有以下性质:将1,1,2,2,··,,.这个整数按某种次序排成一列,使得在这个序列中,对于任意,与之间恰好排列个整数.证明:是4的倍数.
(1)当时,请直接写出集合的子集的个数;
(2)当时,,都是集合的子集(,可以相同),并且.求满足条件的有序集合对的个数;
(3)假设存在集合、具有以下性质:将1,1,2,2,··,,.这个整数按某种次序排成一列,使得在这个序列中,对于任意,与之间恰好排列个整数.证明:是4的倍数.
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3 . 在数字1,2,…,n(n≥2)的任意一个排列A:a1,a2,,an中,如果对于i,j∈N*,i<j,有ai>aj,那么就称(ai,aj)为一个逆序对.记排列A中逆序对的个数为S(A).
如n=4时,在排列B:3,2,4,1中,逆序对有(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),
则S(B)=4.
(1)设排列 C:3,5,6,4,1,2,写出S(C)的值;
(2)对于数字1,2,...,n的一切排列A,求所有S(A)的算术平均值;
(3)如果把排列A:a1,a2,...,an中两个数字ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列A':b1,b2,…,bn,求证:S(A)+S(A')为奇数.
如n=4时,在排列B:3,2,4,1中,逆序对有(3,2),(3,1),(2,1),(4,1),
则S(B)=4.
(1)设排列 C:3,5,6,4,1,2,写出S(C)的值;
(2)对于数字1,2,...,n的一切排列A,求所有S(A)的算术平均值;
(3)如果把排列A:a1,a2,...,an中两个数字ai,aj(i<j)交换位置,而其余数字的位置保持不变,那么就得到一个新的排列A':b1,b2,…,bn,求证:S(A)+S(A')为奇数.
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2016-12-04更新
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621次组卷
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2卷引用:北京市第二中学2022-2023学年高二上学期11月学段考试数学试题