1 . 某生物实验室用小白鼠进行新冠病毒实验，已知6只小白鼠中有1只感染新冠病毒且无患病症状，将它们分别单独封闭隔离到6个不同的操作间内，由于工作人员的疏忽，没有记录感染新冠病毒的小白鼠所在的操作间，需要通过化验血液来确定．血液化验结果呈阳性即为感染新冠病毒，呈阴性即没有感染新冠病毒．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染新冠病毒的小白鼠为止．
方案乙：先任取4只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性，则表明感染新冠病毒的小白鼠为这4只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定感染新冠病毒的小白鼠为止；若结果呈阴性，则在另外2只中任取1只化验．
(1)求采用方案甲所需化验的次数为4次的概率；
(2)用X表示采用方案乙所需化验的次数，求X的分布列：
(3)求采用方案乙所需化验的次数少于采用方案甲所需化验的次数的概率．

2 . 第24届冬季奥林匹克运动会（XXIVOlympicWINTERGames），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京某中学研究小组为了研究该校学生参加冰雪运动与性别的关系，随机对学校500名学生进行了跟踪调查，其中喜欢冰雪运动的学生有200人，在余下的学生中，女生占到，根据数据制成了下图所示的列联表

	男生	女生	合计
喜欢	150		200
不喜欢
合计			500

(1)根据题意，完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢冰雪运动和性别有关？
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，若从全市所有的中学生中，采用随机抽样的方法抽取4名学生，记被抽取的4名学生为男生的人数为，求的分布列和数学期望.
，其中.

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

3 . 一个袋中装有黑球，白球和红球共个， 这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出个球， 得到黑球的概率是. 现从袋中任意摸出个球.
(1)用含的代数式表示摸出的球都是黑球的概率， 并写出概率最小时的值. （直接写出的值）
(2)若， 且摸出的个球中至少有个白球的概率是， 设表示摸出的个球中红球的个数， 求随机变量的分布列和数学期望.

4 . 北京冬奥会的成功举办，推动了我国的冰雪运动迈上新台阶．某电视台为了解我国电视观众对北京冬奥会的收看情况，随机抽取了100名观众进行调查，图是根据调查结果制作的观众日均收看冬奥会时间的频率分布表：

收看时间（分钟）
频率	0.15	0.15	0.2	0.25	0.15	0.1

如果把日均收看冬奥会节目的时间高于40分钟的观众称为“冬奥迷”．
(1)根据已知条件请完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为“冬奥迷”与性别有关？

	非冬奥迷	冬奥迷	合计
女	30
男		10
总计			100

(2)将上述调查的100人所得“冬奥迷”的频率视为该地区“冬奥迷”被抽中的概率．现在从该地区大量的电视观众中，采用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽到的3名观众中的“冬奥迷”人数为，且每次抽取的结果是相互独立的．求抽到“冬奥迷”的概率，并求随机变量的期望和方差．
附，其中．

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

5 . 某高中学校为展示学生的青春风采，举办了校园歌手大赛，该大赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的学生按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等5名学生参加决赛．
(1)求决赛中学生甲、乙恰好排在前两位的概率；
(2)若决赛中学生甲和学生乙之间间隔的人数记为，求的分布列．

6 . 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与P，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为．
(1)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
(2)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．

7 . 某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
(1)若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

9 . 接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足．为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．
(1)求这四个人中恰有2个人接种A种疫苗的概率；
(2)记甲，乙，丙，丁四个人中接种疫苗的种数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．