1 . 某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单位:cm)，先从中随机抽取100件，测量发现全部介于 85 cm和155 cm之间，得到如下频数分布表：

分组
频数	2	9	22	33	24	8	2

已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
（1）求；
（2）公司规定:当时，产品为正品:当时，产品为次品，公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元;若是次品，则亏损30元.记为生产一件这种产品的利润，求随机变量的分布列和数学期望.
参考数据：，若，则，，

2 . 2020突如其来的疫情让我们经历了最漫长、最特殊的一个假期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后某校进行了摸底考试，某数学教师为了调查高二学生这次摸底考试的数学成绩与每天在线学习数学的时长之间的相关关系，对在校高二学生随机抽取45名进行调查，了解到其中有25人每天在线学习数学的时长不超过1小时，并得到如下的等高条形图：

（1）根据等高条形图填写下面列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“高二学生的这次摸底考试数学成绩与其每天在线学习数学的时长有关”；

	数学成绩不超过120分	数学成绩超过120分	总计
每天在线学习数学不超过1小时			25
每天在线学习数学超过1小时
总计			45

（2）从被抽查的，且这次数学成绩超过120分的学生中，再随机抽取3人，求抽取的3人中每天在线学习数学的时长超过1小时的人数的分布列与数学期望.
附临界值表

	0.050	0.010	0.001
	3.841	6.635	10.828

参考公式：，其中.

3 . 编号为a，b，c的三位学生随机入座编号为a，b，c的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是.
（1）求随机变量的取值和对应的概率，并列出分布列；
（2）求随机变量的数学期望及方差.

4 . 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为

	1	2	3	4	5
	0.2	0.3	0.3	0.1	0.1

商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为300元；分4期或5期付款，其利润为400元，表示经销一件该商品的利润.
（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用期付款”的概率；
（2）求的分布列、期望和方差.

5 . 某超市试销某种商品一个月，获得如下数据：

日销售量（件）
频率

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），超市决定正式营销这种商品.设某天超市开始营业时有该商品件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于件，则当天进货补充至件，否则不进货.将频率视为概率.
求当天商品进货的概率.
记为第二天开始营业时该商品的件数.
求得分布列.
求得数学期望与方差.

6 . 为了解某班学生喜欢数学是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查得到了如下的列联表，已知在全部人中随机抽取人抽到喜欢数学的学生的概率为.

	喜欢数学	不喜欢数学	合计
男生
女生
合计

（1）请将上面的列联表补充完整（不用写计算过程）；
（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢数学与性别有关？说明你的理由；
（3）现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜欢数学的女生人数为，求的分布列与期望.
下面的临界表供参考：（参考公式：，其中）

7 . 甲、乙、丙3人均以游戏的方式决定是否参加学校音乐社团、美术社团，游戏规则为：
①先将一个圆8等分（如图），再将8个等分点，分别标注在8个相同的小球上，并将这8个小球放入一个不透明的盒子里，每个人从盒内随机摸出两个小球、然后用摸出的两个小球上标注的分点与圆心构造三角形.若能构成直角三角形，则两个社团都参加；若能构成锐角三角形，则只参加美术社团；若能构成钝角三角形，则只参加音乐社团；若不能构成三角形，则两个社团都不参加.
②前一个同学摸出两个小球记录下结果后，把两个小球都放回盒内，下一位同学再从盒中随机摸取两个小球．

（1）求甲能参加音乐社团的概率；
（2）记甲、乙、丙3人能参加音乐社团的人数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差

8 . 袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止．
（1）求取球次数的分布列；
（2）求取球次数的期望和方差．

9 . 为回馈顾客，新华都购物商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球（球的大小、形状一模一样），球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为40元，其余3个所标的面值均为20元，求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是30000元，并规定袋中的4个球由标有面值为20元和40元的两种球共同组成，或标有面值为15元和45元的两种球共同组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
提示：袋中的4个球由标有面值为a元和b元的两种球共同组成，即袋中的4个球所标的面值“既有a元又有b元”．

10 . 某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有个人参加．现将所有参加者按年龄情况分为等七组.其频率分布直方图如图所示，已知这组的参加者是6人．

（I）根据此频率分布直方图求；
（II）组织者从这组的参加者（其中共有4名女教师，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，其中女教师的人数为，求的分布列、均值及方差.
（Ⅲ）已知和这两组各有2名数学教师．现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率