名校
1 . 根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为
，
，2，
，19，20其中
是男生，
是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：
(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；
(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记
为“偏文”女生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记随机变量
，样本中男生的期望为
，方差为
；女生的期望为
，方差为
，试比较与；与的大小（只需写出结论）．
，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：| 学生科目 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 政治 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||
| 历史 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||
| 地理 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||||||||
| 物理 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||
| 化学 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||||||||||
| 生物 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记
为“偏文”女生的人数，求的分布列和数学期望；(3)记随机变量
，样本中男生的期望为，方差为；女生的期望为，方差为，试比较与；与的大小（只需写出结论）．
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2023-01-11更新
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765次组卷
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6卷引用：北京市海淀区中国人民大学附属中学2023届高三下学期开学摸底练习数学试题
北京市海淀区中国人民大学附属中学2023届高三下学期开学摸底练习数学试题北京市人大附中2023届高三下学期2月开学考数学试题北京市广渠门中学2024届高三上学期开学考数学试题北京市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题（已下线）7.3.2离散型随机变量的方差（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）7.3.2 离散型随机变量的方差——课后作业（巩固版）
名校
解题方法
2 . 为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班
(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（
轴表示对应的班号，
轴表示对应的优秀人数）：
(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“
”表示第
班抽到的这名同学身体素质优秀，“
”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（
）．写出方差
的大小关系（不必写出证明过程）．
(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：
(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设
表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“
”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
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2023-09-05更新
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762次组卷
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8卷引用：北京市第三十五中学2024届高三上学期开学考数学试题
北京市第三十五中学2024届高三上学期开学考数学试题（已下线）第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（六大题型）（讲义）（已下线）第05讲 古典概型与概率的基本性质（八大题型）（讲义）-2（已下线）考点12 离散型随机变量的期望和方差 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）第10讲 离散型随机变量的均值与方差-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）（已下线）第05讲 7.3.2离散型随机变量的方差-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题7.6 离散型随机变量及其分布大题专项训练【六大题型】-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）7.3.2 离散型随机变量的方差——随堂检测
名校
解题方法
3 . 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球
光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中
．
（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；
（2）已知北京的纬度是北纬
，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于
时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；
（3）记
时10颗恒星的视星等的方差为
，记
时10颗恒星的视星等的方差为
，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）
光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中．| 星名 | 天狼星 | 老人星 | 南门二 | 大角星 | 织女一 | 五车二 | 参宿七 | 南河三 | 水委一 | 参宿四 |
| 视星等 |  |  |  |  | 0.03 | 0.08 | 0.12 | 0.38 | 0.46 | a |
| 绝时星等 | 1.42 |  | 4.4 |  | 0.6 | 0.1 |  | 2.67 |  |  |
| 赤纬 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
（2）已知北京的纬度是北纬
，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为颗，求的分布列和数学期望；（3）记
时10颗恒星的视星等的方差为，记时10颗恒星的视星等的方差为，判断与之间的大小关系．（结论不需要证明）
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2021-04-07更新
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2304次组卷
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14卷引用：北京市第一七一中学2024届高三上学期开学考试数学试题
北京市第一七一中学2024届高三上学期开学考试数学试题北京市西城区2021届高三一模数学试题北京市第十三中学2022届高三12月月考数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二6月月考数学试题北京市第十一中学2023届高三上学期11月月考数学试题北京市西城区北京师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题北京市昌平区第二中学2022-2023学年高二下学期期中数学模拟练习试题北京高二专题12概率与统计（第二部分）陕西省宝鸡市千阳县中学2021届高三下学期5月第十一次模考理科数学试题人教B版(2019) 选修第二册 名师精选 第四章 概率与 统计苏教版(2019) 选修第二册 限时训练 第26练 离散型随机变量的方差与标准差陕西省西安中学2022届高三下学期二模理科数学试题江苏省南京市天印高级中学2021--2022学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题3超几何分布运算（提升版）
名校
4 . 某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期.记随机变量
、
分别表示顾客购买
型手机和
型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，和的分布列如下表所示：
（1）若某位顾客购买型和手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；
（2）电商平台销售一部型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部型手机所获得的利润为（单位：元），求的分布列；
（3）比较
与
的大小（只需写出结论）.
、分别表示顾客购买型手机和型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，和的分布列如下表所示： | 1 | 2 | 3 | 4 |
 | 0.1 | 0.4 | 0.4 | 0.1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0.4 | 0.1 | 0.1 | 0.4 |
型和手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；（2）电商平台销售一部
型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元.记电商平台销售两部型手机所获得的利润为（单位：元），求的分布列；（3）比较
与的大小（只需写出结论）.
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2021-03-01更新
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1866次组卷
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10卷引用：北京市2021届高三下学期定位考试（学科综合能力测试）数学试题
北京市2021届高三下学期定位考试（学科综合能力测试）数学试题北京市大兴区2021届高三一模数学试题北京市第八十中学2021届高三考前练习数学试题北京市一六六中学2022届高三10月月考数学试题北京市海淀区2023届高三一模数学试题查漏补缺练习北京市陈经纶中学2023-2024学年高二下学期4月期中诊断数学试卷（已下线）专题34 随机变量及其分布（解答题）-2021年高考数学（理）二轮复习热点题型精选精练（已下线）专题32 随机变量及其分布（解答题）-2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用）（已下线）专题1.6 概率与统计-随机变量及其分布-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）（已下线）专题7.3离散型随机变量的数字特征（B卷提升篇）-2020-2021学年高二下学期数学选择性必修第三册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）
名校
解题方法
5 . 2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和. 某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.
(1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；
(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以表示这
人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“
”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“
”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“
”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“
”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式. 直接写出方差
和
的大小关系.（结论不要求证明）
| 高中部 | 初中部 | |||
| 男生 | 女生 | 男生 | 女生 | |
| 清楚 | 12 | 8 | 24 | 24 |
| 不清楚 | 28 | 32 | 38 | 34 |
(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生，以
表示这人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求的分布列和数学期望；(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用“
”表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式，用“”表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式. 直接写出方差和的大小关系.（结论不要求证明）
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2022-01-12更新
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1031次组卷
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6卷引用：北京市北京理工大学附属中学2023~2024学年高三下学期（寒假回归）开学考试数学试题
北京市北京理工大学附属中学2023~2024学年高三下学期（寒假回归）开学考试数学试题北京市东城区2022届高三上学期期末统一检测数学试题北京市西城外国语学校2023届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题15 概率统计及其应用（练）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》（已下线）解密19 随机变量及分布列（分层训练）-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练（新高考专用）（已下线）第06讲 离散型随机变量的均值与方差（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）
名校
6 . 上学期间，甲每天7:30之前到校的概率为
，乙每天7:30之前到校的概率为
.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)设
为事件“在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数恰为2天”，求事件发生的概率；
(2)在上学期间随机选择两天，记为甲7:30之前到校的天数，记
为乙7:30之前到校的天数，
，求
的分布列和数学期望；
(3)在上学期间随机选择
天，若在这天中，甲7:30之前到校的天数多于乙，则记
，否则记
，分别比较
，
的大小和
，
的大小，直接写出结论.
，乙每天7:30之前到校的概率为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.(1)设
为事件“在上学期间随机选择三天，甲在7:30之前到校的天数恰为2天”，求事件发生的概率；(2)在上学期间随机选择两天，记
为甲7:30之前到校的天数，记为乙7:30之前到校的天数，，求的分布列和数学期望；(3)在上学期间随机选择
天，若在这天中，甲7:30之前到校的天数多于乙，则记，否则记，分别比较，的大小和，的大小，直接写出结论.
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名校
7 . 设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5=105，随机变量
取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量
取值
、
、
、
、
的概率也均为0.2，若记
、
分别为、的方差，则（ ）
取值x1、x2、x3、x4、x5的概率均为0.2，随机变量取值、、、、的概率也均为0.2，若记、分别为、的方差，则（ ）| A．> |
| B．= |
| C．< |
| D．与的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关 |
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2021-10-06更新
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834次组卷
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19卷引用：北京师范大学第二附属中学2023届高三上学期8月返校检测数学试题
北京师范大学第二附属中学2023届高三上学期8月返校检测数学试题北京市中国人民大学附属中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题陕西省宝鸡中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题福建省泉州市泉港区一中2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题福建省泉港一中2016-2017学年高二下学期期末考理科数学试题智能测评与辅导[理]-随机变量及其分布列(1)山东省泰安第二中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学试题黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学（理）试题山西省朔州市应县第一中学校2019-2020学年高二下学期期中数学（理）试题（已下线）第七章 随机变量及其分布（提高卷）-《阳光测评》2020-2021学年高二数学单元提升卷（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第七章 随机变量及其分布单元测试（提升卷）-2020-2021学年高二数学新教材单元双测卷（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）7.3.2离散型随机变量的方差（已下线）专题2 离散型随机变量的分布列、均值与方差-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】山西省怀仁市第一中学校2021-2022学年高二下学期期中数学（理）试题江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题北京名校2023届高三二轮复习 专题六 概率与统计 第2讲 概率与统计陕西省延安中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题第六章 概率 综合培优卷（已下线）3.2.4 离散型随机变量的方差（同步练习）-【素养提升—课时练】2022-2023学年高二数学湘教版选择性必修第二册检测 （提高篇）
名校
8 . 
年
月
日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收吨废纸可再造出
吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场年
月至
月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：
（Ⅰ）现从年月至月中随机选取个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过
吨的概率；
（Ⅱ）从年月至月中任意选取个月，记为选取的这个月中回收的废纸可再造好纸超过
吨的月份的个数. 求的分布列及数学期望；
(Ⅲ)假设
年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为
吨. 当为何值时，自年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）
（注：方差
，其中
为，，…… 
的平均数）
年月日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类. 生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收吨废纸可再造出吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场年月至月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：（Ⅰ）现从
年月至月中随机选取个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨的概率；（Ⅱ）从
年月至月中任意选取个月，记为选取的这个月中回收的废纸可再造好纸超过吨的月份的个数. 求的分布列及数学期望；(Ⅲ)假设
年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨. 当为何值时，自年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小.（只需写出结论，不需证明）（注：方差
，其中为，，…… 的平均数）
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名校
解题方法
9 . 某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.
（1）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
（2）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；
（3）用“
”，“
”，“
”，“
”，“
”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“
”，“
”，“
”，“
”，“
”分别表示不满意.写出方差
，
，
，
，
的大小关系.
| 汽车型号 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ |
| 回访客户(人数) | 250 | 100 | 200 | 700 | 350 |
| 满意率 | 0.5 | 0.5 | 0.6 | 0.3 | 0.2 |
（1）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
（2）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为
，求的分布列和期望；（3）用“
”，“”，“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别表示不满意.写出方差，，，，的大小关系.
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2021-03-07更新
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494次组卷
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5卷引用：中国人民大学附属中学2021届高三3月开学检测数学试题
