1 . 如图一,在平面几何中,有如下命题“正三角形的高为h,O是内任意一点,则O到三边的距离的和为定值h,当O是的中心时,O到各边的距离均为”.
证明如下:设正三角形边长为a,高h,O到三边的距离分别
则:,即:
化简得,
若O是中心,则
即:正三角形中心到各边的距离均为
类比此命题及证明方法,在立体几何中,请写出高为h的正四面体(图二)相应的命题,并证明你的结论.
证明如下:设正三角形边长为a,高h,O到三边的距离分别
则:,即:
化简得,
若O是中心,则
即:正三角形中心到各边的距离均为
类比此命题及证明方法,在立体几何中,请写出高为h的正四面体(图二)相应的命题,并证明你的结论.
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解题方法
2 . 开普勒说:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,”波利亚也曾说过:“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题.”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中,我们知道,平面图形很多可以推广到空间中去,例如正三角形可以推广到正四面体,圆可以推广到球,平行四边形可以推广到平行六面体等.如图,如果四面体中棱,,两两垂直,那么称四面体为直角四面体.请类比直角三角形(表示斜边上的高)中的性质给出直角四面体中的两个性质,并给出证明.
直角三角形 | 直角四面体 | |
条件 | ,, | |
结论1 | ||
结论2 |
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