1 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数，为直线的倾斜角).以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）写出曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点，直线与曲线C交于两点，求证：.

2 . 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），设原点在圆的内部，直线与圆交于、两点；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线和圆的极坐标方程，并求的取值范围；
（2）求证：为定值.

3 . 极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线，，与曲线交于（不包括极点）三点，，．
（1）求证：；
（2）当时，，两点在曲线上，求与的值．

4 . 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求曲线和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与轴交点为，经过点的直线与曲线交于，两点，证明：为定值.

5 . 已知椭圆： （为参数），是上的动点，且满足（为坐标原点），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为
（1）求线段的中点的轨迹的普通方程；
（2）证明：为定值，并求面积的最大值．