近年来,美国方面滥用国家力量,不择手段打压中国高科技企业,随着贸易战的不断升级,中国某科技公司为了不让外国“卡脖子”,决定在企业预算中减少宣传广告预算,增加对技术研究和人才培养的投入,下表是的连续7年研发投入x和公司年利润y的观测数据,根据绘制的散点图决定用回归模型:来进行拟合.
表I
表II(注:表中)
(1)请借助表II中的数据,求出回归模型的方程;(精确到0.01)
(2)试求研发投入为20亿元时年利润的残差.
参考数据:,附:回归方程中和,残差
表I
研发投入(亿元) | 20 | 22 | 25 | 27 | 29 | 31 | 35 |
年利润(亿元) | 7 | 11 | 21 | 24 | 65 | 114 | 325 |
189 | 567 | 162 | 78106 | |
3040 |
(2)试求研发投入为20亿元时年利润的残差.
参考数据:,附:回归方程中和,残差
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更新时间:2022-08-12 20:40:54
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解题方法
【推荐1】甲、乙两名同学在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时,得到如下数据.
甲发现表中散点集中在曲线附近(其中,是参数,且).他先设,将表中数据进行转换,得到新的成对数据(,2,3,4,5),再用一元线性回归模型拟合;
乙根据数据得到线性回归方程为.
(1)列出新的数据表(,2,3,4,5),并求;
(2)求,;
(3)在统计学中,我们通常计算不同回归模型的残差平方和(残差平方和用表示)来判断拟合效果,越小,拟合效果越好.乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6,请你计算甲同学模型的残差平方和,并比较拟合效果.
(参考公式:,.)
4 | 6 | 8 | 10 | 12 | |
4 | 12 | 24 | 50 | 72 |
乙根据数据得到线性回归方程为.
(1)列出新的数据表(,2,3,4,5),并求;
(2)求,;
(3)在统计学中,我们通常计算不同回归模型的残差平方和(残差平方和用表示)来判断拟合效果,越小,拟合效果越好.乙同学计算出其模型的残差平方和为143.6,请你计算甲同学模型的残差平方和,并比较拟合效果.
(参考公式:,.)
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【推荐2】我国为全面建设社会主义现代化国家,制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金,现该企业为了解年研发资金投入额x(单位:亿元)对年盈利额y(单位:亿元)的影响,研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析,建立了两个函数模型:①;②,其中均为常数,e为自然对数的底数.令,,经计算得如下数据:
(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好;
(2)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(回归系数精确到0.01).
附:相关系数,
线性回归直线方程,其中附:,.
26 | 215 | 65 | 2 | 680 | 5.36 | ||
11250 | 130 | 2.6 | 12 |
(2)根据(1)的选择及表中数据,建立y关于x的回归方程(回归系数精确到0.01).
附:相关系数,
线性回归直线方程,其中附:,.
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【推荐3】我国为全面建设社会主义现代化国家,制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召,汇聚科研力量,加强科技创新,准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额(单位:亿元)对年盈利额(单位:亿元)的影响,研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额和年盈利额的数据.通过对比分析,建立了两个函数模型:①,②,其中,,,均为常数,为自然对数的底数.令,,经计算得如下数据:
(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据,建立关于的回归方程;(系数精确到0.01)
(ⅱ)若希望2021年盈利额为250亿元,请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元?(结果精确到0.01)
附:①相关系数,回归直线中:,
②参考数据:,.
26 | 215 | 65 | 2 | 680 | 5.36 | ||
11250 | 130 | 2.6 | 12 |
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据,建立关于的回归方程;(系数精确到0.01)
(ⅱ)若希望2021年盈利额为250亿元,请预测2021年的研发资金投入额为多少亿元?(结果精确到0.01)
附:①相关系数,回归直线中:,
②参考数据:,.
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【推荐1】高精度CMOS温度传感器具有低成本、低功耗、高精度和线性度强的优点.下表是通过对某型号高精度CMOS温度传感器的芯片温度与输出电压进行初步统计得出的相关数据:
(1)已知输出电压与芯片温度之间存在线性相关关系,求出其线性回归方程;(精确到小数点后两位)
(2)已知输出电压实际观察值为,估计值(拟合值)为,以上表数据和(1)中的线性回归方程为依据,.若满足,则可判断该高精度CMOS温度传感器工作正常;若不满足,则可判断工作不正常.现某该型号温度传感器在芯片温度为60℃时,其输出电压为,判断该温度传感器工作是否正常.
参考数据:,.
附:对于一组数据,,…,,其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
芯片温度 | 20 | 40 | 80 | 100 | |
输出电压测量值 | 2.49 | 2.07 | 1.88 | 1.45 | 1.31 |
(2)已知输出电压实际观察值为,估计值(拟合值)为,以上表数据和(1)中的线性回归方程为依据,.若满足,则可判断该高精度CMOS温度传感器工作正常;若不满足,则可判断工作不正常.现某该型号温度传感器在芯片温度为60℃时,其输出电压为,判断该温度传感器工作是否正常.
参考数据:,.
附:对于一组数据,,…,,其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为,.
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【推荐2】以下资料是一位销售经理收集到的每年销售额(千元)和销售经验(年)的关系:
(1)依据这些数据画出散点图并作直线,计算;
(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算;
(3)比较(1) (2)中的残差平方和的大小.
销售经验/年 | 1 | 3 | 4 | 4 | 6 | 8 | 10 | 10 | 11 | 13 |
年销售额/千元 | 80 | 97 | 92 | 102 | 103 | 111 | 119 | 123 | 117 | 136 |
(2)依据这些数据求回归直线方程并据此计算;
(3)比较(1) (2)中的残差平方和的大小.
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