【推荐1】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上。
（1）求抛出点的高度h与L的关系。
（2）若该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M。

【推荐2】宇航员站在一星球表面上的某高处，以初速度v₀沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，球落到星球表面，小球落地时的速度大小为v，已知该星球质量均匀，半径为R，引力常量为G，求：
（1）小球落地时竖直方向的速度v_y的值；
（2）该星球的质量M的值。

【推荐3】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射成功，飞船入轨后与空间站天和核心舱成功对接，成为一个组合体。已知对接后的组合体距地球的距离为，地球半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为。求：
（1）地球的质量；
（2）组合体环绕地球运行的周期。

【推荐1】我国月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段施，用十年左右的时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度。以下是某同学就有关地球和月球的知识设计的两个问题，现请你解答（引力常量为G）：
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动。试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若已知地球的半径为R，地球的质量为M，试求出地球近地卫星的运行速度。

【推荐2】我国成功发射了“嫦娥一号”绕月卫星，计划2020年实现载人登月，若你通过努力学习、刻苦训练有幸成为中国登月第一人，而你为了测定月球表面附近的重力加速度进行了如下实验，在月球表面上空让一个小球由静止开始自由下落，测出下落高度h时，下落的时间正好为t，已知月球半径为R，引力常量为G，不考虑月球自转的影响。则：
（1）月球表面的重力加速度g为多大；
（2）推导月球第一宇宙速度v的表达式；
（3）若卫星绕月球做匀速圆周运动，运行轨道距离月面高度为h₀，求卫星的运行周期T。

【推荐3】（1）牛顿发现万有引力定律之后，在卡文迪许生活的年代，地球的半径经过测量和计算已经知道约6400千米，因此卡文迪许测出引力常量G后，很快通过计算得出了地球的质量。1798年，他首次测出了地球的质量数值，卡文迪许因此被人们誉为“第一个称地球的人”。若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球的自转；
a．求地球的质量；
b．若一卫星在距地球表面高为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，求该卫星绕地球做圆周运动的周期；
（2）牛顿时代已知如下数据：月球绕地球运行的周期T、地球半径R、月球与地球间的距离60R、地球表面的重力加速度g。牛顿在研究引力的过程中，为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，同样遵从与距离的平方成反比规律的猜想，他做了著名的“月地检验”：月球绕地球近似做匀速圆周运动．牛顿首先从运动学的角度计算出了月球做匀速圆周运动的向心加速度；接着他设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，假定物体在地面受到的重力和在月球轨道上运行时受到的引力，都是来自地球的引力，都遵循与距离的平方成反比的规律，他又从动力学的角度计算出了物体在月球轨道上的向心加速度．上述两个加速度的计算结果是一致的，从而证明了物体在地面上所受的重力与地球吸引月球的力是同一性质的力，遵循同样规律的设想．根据上述材料：
a．请你分别从运动学的角度和动力学的角度推导出上述两个加速度的表达式；
b．已知月球绕地球做圆周运动的周期约为T=2.4×10⁶s，地球半径约为R=6.4×10⁶m，取π²=g．结合题中的已知条件，求上述两个加速度的比值，并得出合理的结论．