【推荐1】有 ·种被称为“魔力陀螺”的玩具如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对 它施加了魔法一样，它可等效为一质点在圆轨道外侧运动模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A 、B 两点分别为轨道的最高点与最低点。质量为m 的质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O 且大小恒为F=7mg， 不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 求：
（1）当质点以速率通过A点时，对轨道的压力大小；
（2）为确保质点做完整的圆周运动，质点通过B 点的最大速率。
   

【推荐2】如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面D点的竖直距离也是R、水平距离是2R．用质量m=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块过B点后到D点之间其位移与时间的关系为 ，物块飞离桌边缘D点后由P点沿切线落入圆轨道。g=10 m/s²，求：
（1）BD间的水平距离；
（2）滑块运动到N处时对轨道的压力；
（3）计算说明m能否沿圆轨道到达M点。

【推荐3】如图所示，粗糙的水平轨道与光滑的半圆轨道BCD相切连接，BD为半圆轨道的竖直直径，且BD的长d=0.8m，一质量M=0.5kg的物体乙静止于A点，在A点左侧x₁=2m处有一质量m=1kg的物体甲以v₀=m/s的初速度向右运动，与乙发生弹性碰撞，碰撞后物体乙恰好能滑过D点，物体乙过D点后被拿走，不再落回水平轨道，已知物体甲与水平轨道间的动摩擦因数μ₁=0.025，AB间的距离x₂=5m，取重力加速度g=10m/s²。求：

（1）物体乙到达B点时的速度；
（2）物体乙与水平轨道间的动摩擦因数μ₂；
（3）物体甲最终停止的位置到B点的距离x。

【推荐1】如图所示，高度的光滑导轨位于竖直平面内，其末端与长度的粗糙水平导轨相连，与竖直放置内壁光滑的半圆形管道相连，半圆的圆心在点的正下方，点离地面的高度。一个质量的小滑块（可视为质点），从点由静止下滑，小滑块与段的动摩擦因数，重力加速度取，不计空气阻力。求：
（1）小滑块到达点时的速度大小；
（2）若半圆形管道的半径，求小滑块从点刚进入管道时对管壁的弹力大小和方向；
（3）若半圆形管道半径可以变化，则当半径为多大时，小滑块从其下端射出的水平距离最远？最远的水平距离为多少？

【推荐2】如图，在竖直平面内，一半径为R的半圆形轨道与水平轨道在B点平滑连接．半圆形轨道的最低点为B、最点高为C，圆心为O。整个装置处于水平向左的匀强电场中．现让一质量为m、电荷量为q的带正电小球（可视为质点），从水平轨道的A点静止释放，到达B点时速度为。当小球过C点时撤去电场，小球落到水平轨道上的D点。已知A、B间的距离为R，重力加速度为g，轨道绝缘且不计摩擦和空气阻力，求：
（1）该匀强电场场强E的大小；
（2）A、D间的距离；
（3）小球经过半圆形轨道某点P（图中未画出）时，所受合外力方向指向圆心O，求小球过P点时对轨道压力的大小。

【推荐3】如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道。质量为的小物块A与水平轨道间的动摩擦因数为。以水平轨道末端点为坐标原点建立平面直角坐标系，轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，弧形轨道端坐标为，端在轴上。重力加速度为。
（1）若A从倾斜轨道上距轴高度为的位置由静止开始下滑，求经过点时的速度大小；
（2）若A从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过点落在弧形轨道上的动能均相同，求的曲线方程；