【推荐1】如图所示，固定金属圆环内存在匀强磁场，方向垂直圆环向下，在外力作用下金属棒ab可绕着圆心O匀速转动。从圆心和圆环边缘用细导线连接足够长的两平行金属导轨，导轨与水平面夹角为30°，空间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场。将金属棒cd垂直导轨轻轻放上，金属棒处于静止状态。已知圆环内和导轨平面的磁场大小均为B = 1T，圆环半径和金属棒ab长均为d = 1m，导轨宽度和金属棒cd长度均为L = 2m，金属棒cd质量为m = 1kg，与导轨之间的动摩擦因数为，ab棒电阻为r = 2Ω，cd棒电阻为R = 4Ω，其余电阻不计，，，重力加速度g取10m/s²。求：
（1）若ab棒以ω₀= 12rad/s逆时针匀速转动，cd棒保持静止，则流过ab棒的电流方向和ab棒两端的电压；
（2）要使cd棒与导轨保持相对静止，则ab棒转动的角速度应满足什么条件？
（3）若ab棒以ω₃= 31rad/s顺时针匀速转动，当cd棒恰好匀速时，cd棒的位移为x = 16m，求：从静止到恰好匀速过程中，安培力对cd棒做的功。

【推荐2】如图所示，足够长的U形光滑导体框水平放置，宽度为L，一端连接的电阻为R。导体框所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。电阻为r的导体棒MN放在导体框上，其长度恰好等于导体框的宽度，且接触良好。其余电阻均可忽略不计。在水平拉力作用下，导体棒向右匀速运动，速度大小为v。
（1）请根据法拉第电磁感应定律推导导体棒匀速运动时产生的感应电动势的大小；
（2）求电阻R两端的电压U；
（3）若某个时刻撤去拉力，请在图中定性画出撤去拉力后导体棒运动的图像。

【推荐3】如图所示，两足够长的平行金属导轨、倾斜放置，倾角为，导轨间距，导轨电阻不计，M、P间连接一个的电阻。两导轨间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度。一质量为，电阻的金属棒以的速度沿导轨匀速向下滑动，下滑过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好。已知，，。
（1）求电阻R中电流I的大小；
（2）求金属棒与导轨间的滑动摩擦因数的大小；
（3）对金属棒施加一个垂直于金属棒且沿导轨平面向上的恒定拉力，若金属棒继续下滑后速度恰好减为0，求在金属棒减速过程中电阻R上产生的焦耳热。

【推荐1】如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ=30°的绝缘斜面上，两导轨间距为L=0.5m，M、P两点间接有阻值为R=0.01Ω的电阻。一根质量为m=0.2kg的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上。导轨和金属杆的电阻可忽略。让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，经过一段时间后，金属杆达到最大速度v_m=1m/s，在这个过程中，电阻R上产生的热量为Q=0.9J。导轨和金属杆接触良好，重力加速度为g=10m/s²。求：
（1）金属杆达到最大速度时安培力F的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中杆下降的高度H。

【推荐2】如图所示，竖直放置的平行金属光滑导轨MN和PQ，相距L=0.40m，导轨上端接一电阻R=1.5Ω，导轨处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T。有质量m=0.02kg，阻值为r=0.5Ω的导体棒AB紧挨导轨，沿着导轨由静止开始下落，其他部分的电阻及接触电阻均不计．
（1）导体棒能达到的最大速度是多少？
（2）若导体棒AB下落h=8m导体棒已达到最大速度，求AB棒产生的焦耳热Q。

【推荐3】如图所示，电阻均为R的金属棒a、b，a棒的质量为m，b棒的质量为M，放在如图所示光滑的轨道的水平部分，水平部分有如图所示竖直向下的匀强磁场，圆弧部分无磁场，且轨道足够长；开始给a棒一水平向左的的初速度v₀，金属棒a、b与轨道始终接触良好。且a棒与b棒始终不相碰。请问：

（1）当a、b在水平部分稳定后，速度分别为多少？损失的机械能多少？
（2）设b棒在水平部分稳定后，冲上圆弧轨道，返回到水平轨道前，a棒已静止在水平轨道上，且b棒与a棒不相碰，然后达到新的稳定状态，最后a、b的末速度为多少？
(3) 整个过程中产生的内能是多少?