【推荐1】小明同学撑一把雨伞站在水平地面上，伞面边缘点所围圆形的半径为 r，现将雨伞绕竖直伞柄以角速度ω 匀速转动，伞边缘上的水滴落到地面，形成一个半径较大的圆形， 伞边缘距离地面的高度为 h，空气阻力忽略不计，当地重力加速度为 g．
求:（1）雨滴在空中飞行的水平距离 x;
(2) 雨滴在地面上形成的圆半径 R 大小和着地时速度大小．

【推荐2】如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P点等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点。求：
（1）飞镖从抛出到击中P点，在空中飞行的时间t为多少？
（2）圆盘的半径R为多少？
（3）圆盘转动的角速度为多少？

【推荐3】地面上有一个半径为R = 0.5m的圆形跑道，一平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为，如图所示，ABCD为跑道上的4个点，（其中AC为水平直径，BD是与AC垂直的直径）跑道上有一辆小车。现从P点以速度v₀= 0.5m/s水平抛出一沙袋，已知g取10m/s²，求：
（1）若小车静止于B点时，沙袋被抛出后落入小车中，平台的高度h为多高？
（2）若抛出沙袋的同时小车从A点顺时针出发，沿跑道做匀速圆周运动，欲使沙袋恰好能够在D处落入小车中，求小车运动的线速度v满足什么条件？

【推荐1】如图所示，鼓形轮的半径为R，可绕固定的光滑水平轴O转动。在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m的小球，球与O的距离均为。在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M的重物。重物由静止下落，带动鼓形轮转动。重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为。绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)重物落地后，小球线速度的大小v；
(2)重物落地后一小球转到水平位置A，此时该球受到杆的作用力的大小F；
(3)重物下落的高度h。

【推荐2】长寿湖是西南地区最大的人工湖，景区内有一游乐项目“旋转秋千”如图所示，座椅通过轻质缆绳悬挂在旋转圆盘上。当旋转圆盘绕竖直的中心轴从静止开始转动，稳定后座椅在水平面内做匀速圆周运动。已知悬点到中心轴的距离为R = 2m，座椅（可视为质点）质量为m = 4kg，缆绳长度为L = 5m，稳定后缆绳与竖直方向的夹角θ = 37°，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s²，sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。
（1）稳定后揽绳对座椅的拉力F的大小；
（2）座椅做圆周运动的角速度ω的大小；
（3）座椅从静止达到稳定速度的过程中，缆绳对座椅所做的功W。
   

【推荐3】图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上。绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴转动。转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角，设绳长，质点的质量，转盘静止时质点与转轴之间的距离。（不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，取，，），当质点与转盘一起做匀速圆周运动时，求：
（1）画出受力分析示意图，指出向心力的来源；
（2）绳子拉力的大小；
（3）转盘角速度的大小（可保留根号）。