【推荐1】回旋加速器是加速带电粒子的装置，如图甲所示。两D形盒分别在M端和P端跟高频交流电源（图中未画出）相连，便在两D形盒之间的狭缝中形成加速电场，使粒子每次穿过狭缝时都被加速。两D形盒放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于D形盒底面，粒子源置于圆心O处，粒子源射出的带电粒子质量为m、电荷量为q，最大回旋半径为R。不计粒子在两D形盒间加速电场内运动的时间，不计粒子离开粒子源时的初速度，忽略粒子所受重力以及粒子间相互作用。若M、P之间所加电压随时间t的变化如图乙所示，每个周期内和持续时间相同，求：
（1）粒子离开加速器时的最大动能；
（2）粒子在加速器中的加速次数N。

【推荐3】回旋加速器是用来加速带电粒子的装置，图为回旋加速器的示意图。、是两个中空的铝制半圆形金属扁盒，在两个D形盒正中间开有一条狭缝，两个形盒在高频交流电源上。在盒中心处有粒子源，产生的带正电粒子在两盒之间被电场加速后进入盒中。两个形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中，带电粒子在磁场力的作用下做匀速圆周运动，经过半个圆周后，再次到达两盒间的狭缝，控制交流电源电压的周期，保证带电粒子经过狭缝时再次被加速。如此，粒子在做圆周运动的过程中一次一次地经过狭缝，一次一次地被回速，速度越来越大，运动半径也越来越大，最后到达形盒的边缘，沿切线方向以最大速度被导出。已知带电粒子的电荷量为，质量为，加速时狭缝间电压大小恒为，磁场的磁感应强度为，形盒的半径为，狭缝之间的距离为。设从粒子源产生的带电粒子的初速度为零，不计粒子受到的重力，求：
（1）带电粒子能被加速的最大动能。
（2）带电粒子在盒中第个半圆的半径。
（3）若带电粒子束从回旋加速器输出时形成的等效电流为，求从回旋加速器输出的带电粒子的平均功率。