【推荐1】我国分别于2007年10月24日和2010年10月1日成功发射“嫦娥一号”和“嫦娥二号”月球探测卫星，标志着我国实施绕月探测工程迈出重要一步，在政治、经济、军事、科技乃至文化领域都具有非常重大的意义，同学们也对月球有了更多的关注。
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径r₁；
（2）若将来我国的宇航员随登月飞船登陆月球后，宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部最低点静止一质量为m的小球（可视为质点）如图（12）所示，现给小球一瞬间水平速度v，小球刚好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R₀，万有引力常量为G，试求出月球的质量M_月．

【推荐2】中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统。2018年11月19日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功将北斗三号双星送入预定轨道，成功完成北斗三号基本系统星座部署。如图所示为其中一颗北斗卫星的轨道示意图。已知该卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。
(1)求地球的质量M；
(2)求该卫星的轨道距离地面的高度h；
(3)请推导第一宇宙速度v₁的表达式，并分析比较该卫星的运行速度与第一宇宙速度的大小关系。

【推荐3】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到3倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M。

【推荐1】由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处的重力加速度大小为，在赤道处的重力加速度大小为，地球自转的周期为，引力常量为．假设地球可视为质量均匀分布的球体．求：
（1）质量为的物体在地球北极所受地球对它的万有引力的大小．
（2）地球的半径．
（3）地球的密度．

【推荐2】在某星球表面轻绳约束下的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点时绳子拉力为F₁，在最低点时绳子拉力为F₂．假设星球是均匀球体，其半径为R，已知万有引力常量为G，不计一切阻力，求：
（1）求星球表面重力加速度；
（2）求该星球的密度．

【推荐3】“大自然每个领域都是美妙绝伦的。”随着现代科技发展，人类不断实现着“上天入地”的梦想，但是“上天容易入地难”，人类对脚下的地球还有许多未解之谜。地球可看作是半径为R的球体。以下在计算万有引力时，地球可看作是质量集中在地心的质点。
（1）已知地球两极的重力加速度为g₁，赤道的重力加速度为g₂，求地球自转的角速度ω；
（2）某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度g₁都没变，但赤道的重力加速度由g₂略微减小为g₃，于是他建议应该略微调整地球同步卫星的轨道半径。请你求出同步卫星调整后的轨道半径与原来的轨道半径r之比。