【推荐1】如图，二次函数的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为，点C的坐标为，过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．

(1)求二次函数和直线的函数表达式；
(2)连接，则的面积为________；
(3)在y轴上确定点Q，使得，点Q的坐标为________；
(4)点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】抛物线与轴交于点，，直线与抛物线交于，两点．

(1)求抛物线的解析式．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点为直线上方的抛物线上的一个动点（不与点，重合），将直线上方的抛物线部分关于直线对称形成爱心图案，动点关于直线对称的点为，求的取值范围．

【推荐1】如图1，在中，，点P从点A出发以速度沿运动，点Q从A点出发以的速度沿折线运动．P、Q两点同时出发，当某一点运动到达点B时，另一点距离点B还有．设运动时间为，的面积为，y关于x的函数图像由两段组成，如图2所示．

（1）求a的值．
（2）求的值．
（3）求面积的最大值．

【推荐2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQAC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F，连接PM，设运动时间为t秒（0＜t＜5）．

(1)当t为何值时，△APM与△ACB相似？
(2)设四边形PQCM的面积为y，求y与t之间的函数关系式；
(3)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，AB=8k，BC=5k（k为常数，且k＞0），动点P在AB边上（点P不与A、B重合），点Q、R分别在BC、DA边上，且AP：BQ：DR=3：2：1．点A关于直线PR的对称点为A′，连接PA′、RA′、PQ．
（1）若k=4，PA=15，则四边形PARA′的形状是 ；
（2）设DR=x，点B关于直线PQ的对称点为B′点．
①记△PRA′的面积为S₁，△PQB′的面积为S₂．当S₁＜S₂时，求相应x的取值范围及S₂﹣S₁的最大值；（用含k的代数式表示）
②在点P的运动过程中，判断点B′能否与点A′重合？请说明理由．

【推荐1】 【试题背景】已知:l ∥∥∥k，平行线l与、与、与k之间的距离分别为₁、₂、₃，且₁ =₃ = 1，₂ =" 2" ．我们把四个顶点分别在l、、、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．
【探究1】（1）如图1，正方形为“格线四边形”，于点,的反向延长线交直线k于点． 求正方形的边长．
【探究2】（2）矩形为“格线四边形”，其长 ：宽 =" 2" ：1 ，则矩形的宽为     ．（直接写出结果即可）
【探究3】（3）如图2，菱形为“格线四边形”且∠=60°，△是等边三角形，于点， ∠=90°，直线分别交直线l、k于点、． 求证：．
【拓 展】（4）如图3，l ∥k，等边三角形的顶点、分别落在直线l、k上，于点，且="4" ，∠=90°，直线分别交直线l、k于点、，点、分别是线段、上的动点，且始终保持=，于点．
猜想：在什么范围内，∥？直接写出结论．

【推荐2】如图，菱形中，对角线和交于点，过点作分别交、于点和点，点是延长线上一点，且满足，延长交于点．

（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）若，请直接写出的值．

【推荐1】已知抛物线与直线交于，B两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB交轴于点D，且，求点B的坐标；
（3）如图2，当时，在x轴上有且只有一点P，使，求k的值．

【推荐2】如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的函数表达式．
(3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点E，使以E，M，C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，与轴交于点．

(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点在第二象限的抛物线上，连接交轴于点，连接，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(3)如图3，在（2）的条件下，点是第一象限内，直线上方任意一点，点在线段上，连接，线段与线段交于点，过点作交抛物线于点，若，时，求点的坐标．